Demostración intuitiva de la superficie de una esfera en relación con el área del gran círculo utilizando la sombra.

Question

Estoy tratando de mostrar a mis hijos pruebas intuitivas de fórmulas comunes, y vi este excelente video de 3Blue1Brown: Pero, ¿por qué la superficie de una esfera es cuatro veces su sombra? Sin embargo, la explicación de la "sombra" no me pareció intuitiva (o la entendí mal), y se me ocurrió una alternativa, aunque estoy bastante seguro de que se ha pensado antes.

Toma una esfera y córtala por la mitad dejando una cúpula, e ilumínala desde arriba.

Divide la cúpula en anillos horizontales iguales y observa que cada anillo sombrea el "suelo" utilizando un porcentaje de su superficie. Para el anillo en la parte superior de la cúpula, la sombra será el 100% de la superficie del anillo, mientras que para el anillo en el suelo la sombra será el 0% de la superficie, ya que el anillo está de canto a la luz.

Como la cúpula es completamente simétrica, podemos tomar el factor de sombra "medio" como el 50%. Por lo tanto, la superficie de la cúpula es el doble de la superficie del gran círculo, y la esfera completa es 4 veces.

¿Existe una prueba formal de esta idea, y cómo se llama, o es sólo una coincidencia, y qué parte(s) del argumento son erróneas?

Answer 1

"Como la cúpula es completamente simétrica, podemos tomar el factor de sombra "medio" como el 50%. Por lo tanto, la superficie de la cúpula es el doble de la superficie del gran círculo, y la esfera completa es 4 veces." La cuestión es justificar que aunque el rango es de $0$ a $100$ eso no nos dice necesariamente que la media sea $50$ .

Consideremos la semiesfera en el espacio medio superior centrada en el origen con radio $1$ . Consideramos el mapa del plano al hemisferio. A grandes rasgos, si pudiéramos calcular el factor de estiramiento medio, debería ser $2$ . El disco en el plano con radio $\sqrt{x}$ es $x$ del área del disco. El factor de estiramiento en el $\sqrt{x}$ círculo es uniforme $\frac{1}{\sqrt{1-x}}$ . Así que promediando el tramo sobre el área porcional nos da $$ \int_0^1\frac{1}{\sqrt{1-x}}dx=2$$

Tomando ambos hemisferios se obtiene $4$ veces el área del disco en el plano. Por supuesto, habría que trabajar más para justificar este razonamiento. Además, me encantaría una respuesta sin apelar al cálculo de una integral.