Cómo evaluar $\int_S(x^4+y^4+z^4) \, dS$ sobre la superficie de la esfera unitaria.

Question

Pregunta. Dejemos que $S$ denotan la esfera unitaria en $\mathbb{R}^3$ . Evaluar: $$\int_S (x^4+y^4+z^4) \, dS$$

Mi solución. Primero parametrizo $S$ por $$r(u,v)=(\cos v \cos u, \cos v \sin u, \sin v)$$ $0\le u \le 2 \pi;~-\frac{\pi}{2}\le v \le \frac{\pi}{2}$

Dejemos que $~f(x,y,z)=x^4+y^4+z^4$ . Aquí $~|\frac{\partial r}{\partial u} \times \frac{\partial r}{\partial v}|=|\cos v|$

Entonces $\displaystyle \int_S(x^4+y^4+z^4)\,dS = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \int_0^{2\pi} f[r(u,v)] \left|\frac{\partial r}{\partial u} \times \frac{\partial r}{\partial v}\right|~du~dv$

Así que intento calcular esta integral directamente utilizando la definición de integral de superficie.

Pero tenía muchos cálculos en este sentido. ¿Se puede resolver este problema en particular utilizando algún teorema, por ejemplo, la divergencia de Gauss (escribiendo $f$ como $F\cdot n$ para algún campo vectorial $F$ ? Gracias.

Answer 1

Denotaré por $\text{d}\Sigma$ el elemento de superficie. En la forma polar $$(x,y,z)=\big(r\cos(\phi)\sin(\theta),r\sin(\phi)\cos(\theta),r\cos(\theta)\big)\,,$$ Sólo calcularía la integral $$\int_{\partial B_1(\boldsymbol{0})}\,z^4\,\text{d}\Sigma=\int_0^{2\pi}\,\int_0^\pi\,\cos^4(\theta)\,\sin(\theta)\,\text{d}\theta\,\text{d}\phi=2\pi\,\int_{-1}^{+1}\,t^4\,\text{d}t=\frac{4\pi}{5}\,,$$ donde $t:=\cos(\theta)$ y luego multiplicarlo por $3$ para obtener la respuesta final. Debido a la simetría, esto está justificado.

Answer 2

Dejemos que $~f(x,y,z)=x^4+y^4+z^4$

La unidad hacia afuera dibujada normal a $S$ es $n=(x,y,z)$ . Tomando $F=(x^3,y^3,z^3)$ tenemos $f=F.n$ . De ahí la integral dada:

$\int_{S}f(x,y,z)dS=\int_{S}F.n~dS=\int_{V}div F~dV =3\int_{0}^{1}\int_{-\pi/2}^{-\pi/2}\int_{0}^{2\pi}r^2|\cos v|~dr~du~dv=\frac{12\pi}{5}.$

Answer 3

Cálculo directo (esfera unitaria). $x^4+y^4+z^4=(x^2+y^2+z^2)^2-2(x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2)=(1-2h)$

donde $h=cos^4vcos^2usin^2u+cos^2vsin^2v=h_1+h_2$ . La integral de superficie es $S=\int_0^{2\pi}\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(1-2h)cosvdvdu$ . Se pueden calcular directamente. $\int_0^{2\pi}\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}cosvdvdu=4\pi$ . Sea $I_1=\int_0^{2\pi}\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}cos^5vdvcos^2usin^2udu$ . Sea $I_2=\int_0^{2\pi}\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}sin^2vcos^3vdv$ . En este punto hay que tener en cuenta que $I_1=\frac{I_2}{2}$ . $I_2$ es más fácil de calcular, por lo que no necesitamos calcular $I_1$ . $I_2=\int_0^{2\pi}\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(sin^2v-sin^4v)cosvdv=\frac{8\pi}{15}$ . Por lo tanto, $S=\frac{12\pi}{5}$ .