Permutaciones en una lista infinita de números aleatorios

Question

En una lista infinita de números aleatorios de a a b, demuestre que en esta lista, existen todas las permutaciones posibles de n números de la lista, donde n puede ser cualquier número. Aquí hay algunas versiones del problema en su contexto:

"Todos los números de teléfono del mundo aparecen entre los decimales de pi... y si convirtieras los números en letras, encontrarías todos los libros que se han escrito o se escribirán". (de Piensa en un número (por Johnny Ball)

"Consideremos al Hombre Moneda, que toma decisiones basándose en el lanzamiento de una moneda. Digamos que si tira cara, se mueve un paso hacia arriba de la página, y si tira cruz, se mueve un paso hacia abajo de la página... si imaginamos que a cierta distancia del punto de partida en una dirección hay una barrera, hay un 100% de probabilidades de que finalmente el Hombre Moneda choque con la barrera". (de Las aventuras de Alex en el país de los números (por Alex Bellos)

Para la primera versión, ¿cómo sabemos que contiene todos los números de teléfono o libros del mundo? Para la segunda versión, ¿cómo sabemos que el hombre de las monedas golpeará la barrera? Puedo visualizarlo más o menos, pero me gustaría una prueba rigurosa.

Editar: "¿Dice realmente Ball que "Todos los números de teléfono del mundo aparecen entre los decimales de pi"? La gente cree que esto es probable, pero no se sabe si es cierto. No se puede creer todo lo que se lee. (Es cierto para "casi todos" los números en lugar de .)" - un comentarista. Tal vez sea cierto, en cuyo caso, puedes simplemente ignorar el primer ejemplo. O, cuando se menciona pi, basta con pensar en cualquier secuencia infinita de dígitos.

Answer 1

La afirmación sobre los dígitos de $\pi$ no se sabe si es cierto.

Pero la declaración correspondiente es verdadero para una secuencia aleatoria de dígitos. Digamos que buscamos la secuencia 1243. Podrían ser los cuatro primeros dígitos, o los cuatro siguientes... Los problemas de probabilidad con "y" suelen ser más fáciles que los problemas con "o". Digamos que la secuencia 1243 hace no aparecen en una secuencia aleatoria.

Eso significa que los primeros cuatro dígitos no son 1243, y los siguientes cuatro dígitos no son 1243, y los cuatro dígitos que siguen no son 1243... La probabilidad de cada fallo es $9999/10,000$ . Así que la probabilidad de que fallemos infinitas veces es el producto infinito $$(9999/10,000)(9999/10,000)\dots=0.$$

Answer 2

Para la primera pregunta :

Un número irracional $x$ se llama "número normal" si para cualquier número natural $n$ con $m$ dígitos, la densidad de $n$ en los dígitos decimales de $x$ es $\frac{1}{10^m - 10^{m-1}}$ en todas las bases (es decir, se ve cada número natural (con el mismo número de dígitos) en las cifras decimales al mismo tiempo). Es una conjetura que si $\pi$ es un número normal o no y no sabemos mucho sobre los números normales (el primer ejemplo de un número normal es $0.123456789101112...$ y se encuentra mucho después de la definición de un número normal).

Para la segunda pregunta :

La ley de los grandes números dice que si un acontecimiento es posible, acabará ocurriendo si se hace el experimento lo suficiente. Existe la posibilidad de que el Hombre Moneda golpee la barrera, por lo que acabará ocurriendo si se lanza tantas veces.

https://en.wikipedia.org/wiki/Normal_number https://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_large_numbers