Solución de una ecuación polinómica compleja

Question

Estoy tratando de encontrar las soluciones a la ecuación

$1 - \alpha * z^{-N} = 0$

Las soluciones son los ceros de un sistema en el que estoy trabajando, no estoy seguro de cómo resolver esta ecuación polinómica. Cualquier ayuda sería muy apreciada. Gracias.

Answer 1

Primero algunas operaciones triviales:

$$1 - \alpha * z^{-N} = 0$$

$$\alpha * z^{-N} = 1$$

$$z^{-N} = \frac{1}{\alpha}$$

$z^{-N}$ sólo puede ser cero si $z$ es cero, pero $\frac{1}{\alpha}$ nunca es cero. Así que podemos obtener la receta de ambos lados:

$$z^N = \alpha$$

Lo que lleva a

$$z=\sqrt[N]\alpha \cdot e^\frac{2\pi j k}{N} (k=0,...,N-1)$$

Este último paso puede ser un poco complicado. La esencia es que no sólo la potencia N-ésima de $\sqrt[N]\alpha$ es $\alpha$ pero también si se gira en el plano complejo, con cero a $N-1$ veces, por $\frac{2\pi}{N}$ rad.

Lo más importante es conocer estas tareas básicas de procesamiento de señales: no es realmente una matemática nueva . Se trata de matemáticas ordinarias de bachillerato con algunas notaciones y prácticas personalizadas. No hay magia, entenderlo desde el nivel de la escuela secundaria no es tan difícil, que aprender, por ejemplo, la aritmética compleja. Pero hay que aprender las matemáticas.

Answer 2

$$\begin{align*}1-\alpha z^{-N} & =0\\ \\ z^N - \alpha &= 0 \\ \\ z^N &= \alpha = |\alpha|e^{i[\arg(\alpha)+2\pi n]}\\ \\ z &= |\alpha|^{\frac{1}{N}}e^{i\left[\frac{\arg(\alpha)}{N}+\frac{2\pi n}{N}\right]} \quad n \in \{0, \dots, N-1\} \\ \end{align*}$$

Si $\alpha \in \mathbb{R}$ y $\alpha > 0$ entonces $\arg(\alpha) = 0$ y se obtiene la expresión un poco más simple

$$ z = \alpha^{\frac{1}{N}}e^{i\frac{2\pi n}{N}} \quad n \in \{0, \dots, N-1\}$$