morfismo de una variedad sobre un espacio afín con una fibra infinita

Question

Existe la siguiente interpretación geométrica del teorema de normalización de Noether:

Dejemos que $X$ ser un $n$ -Variedad afín de dimensiones. Entonces existe un morfismo suryente $\varphi : X \to \mathbb{A}^n$ con fibras finitas, es decir $|\varphi^{-1}(p)| < \infty$ para todos $p \in \mathbb{A}^n$ .

Me pregunto si podría haber también un morfismo subjetivo $X \to \mathbb{A}^n$ con una fibra infinita. ¿Puedes nombrar algún ejemplo?

Gracias de antemano.

Añadido más tarde: Después de escribir esta pregunta me di cuenta de que una fibra es una intersección de $n$ hipersuperficies de $X$ por lo que es probable que su intersección sea de dimensión cero y, por tanto, finita. ¿Es esto cierto? En este caso, ¿cómo podemos demostrar que la dimensión realmente disminuye con cada intersección, es decir, por qué las componentes irreducibles de la intersección de la primera $i$ hipersuperficies no contenidas en el ( $i+1$ )-a?

Answer 1

Tome la ampliación de $\mathbb{A}^2$ en un punto $p$ esto da un morfismo biracional $\mbox{Bl}_p(\mathbb{A}^2)\to\mathbb{A}^2$ cuya fibra sobre $p$ es infinito.

Editar: Para un ejemplo afín, considere $\phi:\mathbb{A}^2\to\mathbb{A}^2$ donde $(x,y)\mapsto(xy,x+x^2+xy)$ . Si $(z_0,w_0)\in\mathbb{A}^2$ y $x_0$ es una raíz de $x^2+x=w_0-z_0$ ( $x_0\neq0$ cuando $z_0=w_0$ ), entonces $\phi(x_0,z_0/x_0)=(z_0,w_0)$ . En $(0,0)$ Sin embargo, obtenemos la fibra $\{(0,y):y\in k\}\cup\{(-1,0)\}$ .