Demostrar que $\lim_{h \to 0}\frac{1}{h}\int_0^h{\cos{\frac{1}{t}}dt} = 0$

Question

Estoy tratando de demostrar que $$\lim_{h \to 0}\frac{1}{h}\int_0^h{f(t)dt} = 0$$ where $$f(t) = \begin{cases}\cos{\frac{1}{t}} &\text{ if } t \neq 0\\ 0&\text{otherwise}\end{cases}.$$ alguien Puede darme una pista de por dónde empezar? Darboux sumas de alguna manera parece que me llevan a ninguna parte.

NOTA: no puedo asumir que $f$ tiene una antiderivada $F$.

Answer 1

Integración parcial \begin{align} \int \cos \bigg(\frac{1}{t} \bigg) dt &= \int t^2 \frac{1}{t^2}\cos \bigg(\frac{1}{t} \bigg)dt \\ &= -t^2 \sin \bigg(\frac{1}{t} \bigg) + \int 2 t \sin \bigg(\frac{1}{t} \bigg) dt \\ \end{align}

Answer 2

Considere la posibilidad de $h>0$ entonces no es$n$, de modo que $ \frac{1}{(n+1)\pi +\pi/2} < h\le \frac{1}{n\pi + \pi/2}$. En este intervalo de tiempo (llamado $I_n$), $\cos(1/t)$ es positivo (resp. negativo) si $n$ es impar (resp. incluso). También

$$\int_0^h \cos\left(\frac 1t\right) dt = \sum_{k=n+1}^\infty \int_{I_k} \cos\left(\frac 1t\right) dt + \int_{\frac{1}{(n+1)\pi + \pi/2}}^h \cos\left(\frac 1t\right) dt$$

Tenga en cuenta que el último término está delimitado por $\frac{2}{\pi n^2}$. Por otro lado, si nos vamos a $$a_k = \int_{I_k} \cos\left(\frac 1t\right) dt,$$ y $a_k$ es una secuencia alternante y $a_k \to 0$. Si $l> k$, $|a_k| > |a_l|$ (ver abajo). Así tenemos

$$\left|\sum_{k=n+1}^\infty a_k\right| \le |a_{n+1}| \Rightarrow \left| \sum_{k=n+1}^\infty \int_{I_k} \cos\left(\frac 1t\right) dt\right| \le \int_{I_{n+1} }\left| \cos\left(\frac 1t\right) \right| dt \le \frac{2}{\pi n^2}. $$

Como $h \in I_n$, $h > \frac{1}{(n+1)\pi + \pi/2}> \frac{1}{2\pi n} \Rightarrow \frac{1}{h} < 2\pi n$. Así

$$\left|\frac 1h\int_0^h \cos \left(\frac 1t \right) dt \right| \le (2\pi n) \frac{4}{\pi n^2} = \frac{8}{n}. $$

Como $h\to 0$, $n\to \infty$ y por lo que el límite tiende a cero.

Nota: Si hacemos la sustitución de $u = 1/t$, luego $$a_k = \int_{I_k} \cos\left(\frac 1t\right) dt = \int_{k\pi +\pi/2}^{(k+1)\pi + \pi/2} \frac{\cos u}{u^2} \mathrm du \Rightarrow |a_k| = \int_{k\pi +\pi/2}^{(k+1)\pi + \pi/2} \frac{|\cos u|}{u^2} \mathrm du.$$

Ahora $|\cos u|$ $\pi$- periódico, $|a_k|$ es estrictamente decreciente.

Answer 3

Deje $g=\frac1h$$s=\frac1t$. A continuación, integración por partes da $$ \begin{align} \lim_{h\to0}\frac1h\int_0^h{\cos\!\left(\frac1t\right)\mathrm{d}t} &=\lim_{g\to\infty}g\int_g^\infty{\frac{\cos(s)}{s^2}\,\mathrm{d}s}\\ &=\lim_{g\to\infty}g\left[-\frac{\sin(g)}{g^2}+2\int_g^\infty\frac{\sin(s)}{s^3}\,\mathrm{d}s\right]\\ &=\lim_{g\to\infty}O\left(\frac1g\right)\\[6pt] &=0 \end{align} $$ Desde $\sin(s)=O(1)$.