Encuentre los valores de $x$ tal que $2\tan^{-1}x+\sin^{-1}\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)$ es independiente de $x$ .

Question

Encuentre los valores de $x$ tal que $$2\tan^{-1}x+\sin^{-1}\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)$$ es independiente de $x$ .

Comprobación de $x\in [-1,1]$ En el dominio tomado $\sin^{-1}\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)$ resulta ser $2\tan^{-1}x$ por lo que la función tomada resulta ser igual a $4\tan^{-1}x$ por lo que la función depende claramente de $x$ .

Ahora se comprueba que $x\in (1,\infty)$ En el dominio tomado $2\tan^{-1}x$ resulta ser $\pi-\sin^{-1}\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)$ y por lo tanto la suma neta se vuelve independiente de $x$ .

Ahora se comprueba que $x\in (-\infty,-1)$ En el dominio tomado $2\tan^{-1}x$ resulta ser $-\pi-\sin^{-1}\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)$ y por lo tanto la suma neta se convierte en $-\pi$ por lo tanto, se convierte, independientemente de $x$ .

Pero la respuesta ha sido mencionada como $x\in [1,\infty)$ ¿Puede alguien decirme por qué no se ha incluido el segundo juego?

Answer 1

Diferéncielo:

$$\left(2\arctan x+\arcsin\frac{2x}{1+x^2}\right)'=\frac2{1+x^2}+\frac{2-2x^2}{(1+x^2)^2}\frac1{\sqrt{1-\frac{4x^2}{(1+x^2)^2}}}=$$

$$=\frac2{1+x^2}+\frac{2-2x^2}{(1+x^2)^2}\frac{1+x^2}{\sqrt{(1-x^2)^2}}=\frac2{1+x^2}+\frac{2(1-x^2)}{(1+x^2)|1-x^2|}$$

Así, podemos ver que si $\;|1-x^2|=-(1-x^2)\iff 1-x^2<0\iff |x|>1\;$ entonces la última expresión anterior es cero y por lo tanto la función es una constante y no depende de $\;x\;$ .

Answer 2

El autor de la pregunta puede haber pensado de forma puramente geométrica, imaginando la situación de abajo, con $x$ la longitud (no negativa) de un segmento:

Para completar, este es el argumento que se puede hacer...

Escribir $\alpha := \angle BAC = \angle BAD$ y $\beta := \angle CBD$ tenemos $$\tan \alpha = x \qquad\text{and}\qquad \sin\beta = \frac{2x}{1+x^2} = \sin 2\alpha$$ (esta última por un aspecto de la Ley de los Senos).

Ciertamente, $\alpha = \operatorname{atan}{x}$ para todos $x$ . Por otro lado, $\operatorname{asin}\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)$ es o bien $\beta$ o $2\alpha$ dependiendo de que no sea obtuso; esta condición depende de cómo $\alpha$ se compara con $\pi/4$ que a su vez depende de cómo $x$ se compara con $1$ . Por lo tanto, observando que los ángulos opuestos en un cuadrilátero cíclico son complementarios, podemos escribir:

$$2 \operatorname{atan} x + \operatorname{asin}\left(\frac{2x}{1+x^2}\right) \;=\; \begin{cases} 2\alpha + \phantom{2}\beta = \pi &\text{, for } x \geq 1 \\[4pt] 2\alpha + 2\alpha = 4 \operatorname{atan}x &\text{, otherwise} \end{cases}$$

---

Sin una restricción explícita del signo de $x$ Sin embargo, tienes razón: la solución al problema planteado debe sea $|x| \geq 1$ incluyendo los valores negativos de $x$ .

Editar. Estrictamente hablando, la respuesta no puede ser $|x| \geq 1$ porque entonces el signo de la suma en cuestión dependería del signo de $x$ . Tal vez la forma más precisa de describir el resultado sea:

• La suma es constante (con valor $\pi$ ) para $x \geq 1$ .
• La suma es constante (con valor $-\pi$ ) para $x \leq -1$ .
• La suma es no constante (con valor $4\operatorname{atan}x$ ) para $-1< x < 1$ .

Answer 3

Dejemos que $\tan^{-1}x=y\implies-\dfrac\pi2\le y\le\dfrac\pi2\iff-\pi\le2y\le\pi$

$$\implies\dfrac{2x}{1+x^2}=\sin2y$$

$$\sin^{-1}\dfrac{2x}{1+x^2}=\begin{cases}-2y-\pi &\mbox{if }2y<-\dfrac\pi2\iff x<-1 \\ 2y & \mbox{if }-\dfrac\pi2\le2y\le\dfrac\pi2\\ \pi-2y & \mbox{if }2y>\dfrac\pi2\end{cases}$$

¿Puedes llevarlo a casa desde aquí?

Ver también : Duda de identidad de la función trigonométrica inversa: $\tan^{-1}x+\tan^{-1}y =-\pi+\tan^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$ cuando $x<0$ , $y<0$ y $xy>1$