¿Representa una forma cuadrática binaria positiva un conjunto de primos que posee una densidad natural

Question

En su respuesta a mi pregunta El teorema de Green-Tao y las formas cuadráticas binarias positivas
Kevin Ventullo responde afirmativamente a mi pregunta inicial. Lo que queda es la pregunta del título aquí, de interés separado para mí.

Cualquier forma cuadrática binaria integral positiva representa integralmente un conjunto de primos con densidad de Dirichlet conocida. Esta es una aplicación del teorema de la densidad de Cebotarev (o Chebotarev o Tchebotarev), en particular es el Teorema 9.12 en David A. Cox, Primes of the form $x^2 + n y^2,$ con el ejemplo $\Delta = -56$ en la página 190. Lo he escrito en la pregunta anterior.

Ahora, Jurgen Neukirch "Class Field Theory" señala a Serre "A Course in Arithmetic", y en la página 76 Serre dice que el conjunto de primos p tal que un polinomio fijo tiene una raíz $\pmod p$ tiene una densidad natural, y se refiere a K. Prachar "Primzahlverteilung" capítulo 5 sección 7. Por los resultados (teorema 9.2, página 180) del libro de Cox, esto significa que la forma principal $x^2+ny^2$ o $x^2+xy+ky^2$ sí representa un conjunto de primos con una densidad natural, por tanto igual a la densidad de Dirichlet. Y por el resultado sobre las progresiones aritméticas, un género completo de formas tiene una densidad natural.

Combinando las observaciones, la forma principal siempre tiene una densidad natural de primos, cualquier género completo la tiene, por lo tanto hemos terminado para una clase por género, y en el caso de dos clases por género hemos terminado con el género principal y cualquier género con dos formas opuestas distintas. Así que tenemos densidades naturales para los géneros de Cox $\Delta = -56$ ejemplo. También hemos terminado con el género principal cuando tiene tres clases.

Entonces, (y me encantaría una referencia), ¿toda forma cuadrática binaria positiva representa un conjunto de primos para los que existe la densidad natural?

Answer 1

Según H. Lenstra el teorema de Chebotarev es válido tanto para Dirichlet como para para la densidad natural (pero no da una referencia en este documento). Aplicando Chebotarev a la extensión $H/\mathbb{Q}$ donde $H$ es el Hilbert de clase Hilbert de $\mathbb{Q}(\sqrt{-n})$ da el resultado deseado. (Al menos para discriminantes primitivos; para discriminantes no primitivos se necesita una generalización adecuada del campo de la clase de Hilbert).

Añadido en respuesta al comentario de Will Siempre hay un campo adecuado. Dejemos que $-D$ sea un discriminante primitivo negativo discriminante y que $d=-m^2D$ sea un discriminante general. Sea $H_n$ sea la extensión abeliana de $K=\mathbb{Q}{\sqrt{-D}}$ donde un primo se divide si es principal y está generado por un elemento de $\mathbb{Z}+m\mathcal{O}_K$ . Este campo $H_n$ es llamado campo de la clase de anillo y existe por la teoría del campo de clases. También es una extensión de $K$ por un valor singular de la $j$ -función.

Entonces $G_m=\mathrm{Gal}(H_n/\mathbb{Q})$ es un grupo diédrico generalizado. Existe una correspondencia entre las clases de conjugación en $G_m$ y los pares de clases de equivalencia de $ax^2\pm bxy+cy^2$ del discriminante $d$ , de tal manera que un primo no ramificado tiene su Frobenius en una clase de conjugación si está representado por la forma correspondiente. Por eso podemos aplicar Chebotarev.

Aún más añadido Una buena referencia para los campos de clase de anillos es el libro de Cox Primas de la forma $x^2+ny^2$ .

Answer 2

Si $Q$ es una forma cuadrática binaria positiva cuyo discriminante $D$ es fundamental, entonces el número de primos $\leq X$ representado por $Q$ se da asintóticamente como

$\pi_{Q}(X)=\frac{1}{2h(D)} \mathrm{Li}(X)+O(X \exp{(-c_{Q}\sqrt{\log{X}})})$ .

Aquí $\mathrm{Li}(X)$ es la integral logarítmica habitual. Mi razón para dar esto como respuesta es señalar que esto fue demostrado por el propio de la Vallee Poussin, ¡en el mismo trabajo donde demostró el teorema habitual de los números primos! Al datar de la década de 1890, esto es definitivamente anterior a Chebotarev, y la contribución de de la V.P. merece (en mi opinión) ser más conocida de lo que es. El trabajo de Hadamard sobre la PNT es un poco más fácil para el lector que el de De la V.P., pero los resultados de De la V.P. eran más sólidos y más generales, lo que a veces se olvida.