¿Cómo puedo utilizar el lema de Klingenberg para construir una demostración alternativa del teorema de Hadamard?
Teorema de Hadamard
Dejemos que $M$ sea una variedad completa de Riemann, simplemente conectada, con curvatura seccional $K(p,\sigma) \le 0$ para todos $p \in M$ y para todos $\sigma \subset T_p(M)$ . Entonces $M$ es difeomorfo a $\mathbb R^n$ , $n = \dim M$ ; más precisamente, $\exp_p : T_p M \to M$ es un difeomorfismo.
(do Carmo, Geometría de Riemann, p. 149)
Lemma de Klingenberg
Dejemos que $M$ sea una variedad completa de Riemann con curvatura seccional $K \le K_0$ , donde $K_0$ es una constante positiva. Sea $p,q \in M$ y que $\gamma_0$ y $\gamma_1$ sean dos geodésicas diferentes que unen $p$ a $q$ con $\ell(\gamma_0) \le \ell(\gamma_1)$ . Supongamos que $\gamma_0$ es homotópico a $\gamma_1$ es decir, existe una familia continua de curvas $\alpha_t$ , $t \in [0,1]$ tal que $\alpha_0=\gamma_0$ y $\alpha_1=\gamma_1$ . Entonces existe $t_0 \in [0,1]$ tal que $\ell(\gamma_0)+\ell(\alpha_{t_0}) \ge \frac{2\pi}{\sqrt{K_0}}$ .
(do Carmo, Riemannian Geometry, pp, 235-236)
Intento de prueba:
Desde $M$ es completa, por el teorema de Hopf-Rinow (teorema 2.8 del capítulo 7 de do Carmo), existe una geodésica $\gamma$ unirse a $p,q \in M$ . Desde $M$ es simplemente conectado, la geodésica es única. Porque si existen dos geodésicas de este tipo, entonces serían homotópicas, y el lema de Klingenberg afirmaría que existe una secuencia de curvas de longitudes $\ge \pi\sqrt n$ en esta homotopía.
Pregunta:
No estoy seguro de cómo el hecho de que la geodésica sea única implica que $\exp_p : T_p M \to M$ es un difeomorfismo. Sin embargo, si esta implicación es cierta, creo que eso debería completar mi prueba. Por lo menos, soy consciente de que, como $M$ es (geodésicamente) completa, $\exp_p$ se define para todos los $\sigma \in T_p(M)$ .
