Derivan $\frac{d}{dx} \left[\sin^{-1} x\right] = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

Question

Derivan $\frac{d}{dx} \left[\sin^{-1} x\right] = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ (Sugerencia: establezca $x = \sin y$ y el uso implícito de la diferenciación)

Así, traté de usar la pista y me dieron:

$x = \sin y$

$\frac{d}{dx}\left[x\right] = \sin y\frac{d}{dx}$

$\frac{dx}{dx} = \cos y \frac{dy}{dx}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos y}$

$\frac{dy}{dx} = \sec y$

A partir de aquí, necesito un poco de ayuda.

1. Hice lo implícito la diferenciación correctamente?
2. ¿Cómo puedo usar esto para ayudar con la pregunta original?

Answer 1

Usted está en el camino correcto. Todo lo que queda es escribir $\sec(y)$ en términos de $x$. Para ello, cabe recordar que la $y=\arcsin(x)$. Es decir, $y$ es cierto ángulo, sine de que los rendimientos de $x$. Por lo tanto, no es un triángulo rectángulo con ángulo de $y$, el lado opuesto $y$ tiene una longitud de $x$ y la hipotenusa es $1$. Usted necesita para calcular la secante de un ángulo $y$.

Este enfoque se generaliza a encontrar los derivados de las otras funciones trigonométricas inversas, y es una buena manera de envolver su cabeza alrededor de componer funciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas de cualquier sabor.

Answer 2

Sólo falta que el hecho de que $\cos(x) = \sqrt{1-\sin^2(x)}$ y usted debería ser capaz de completar de lo que ya tiene.

Answer 3

Editado en respuesta a Aryabhata del comentario. De $\cos ^{2}y+\sin ^{2}y=1$, obtenemos $\cos y=\pm \sqrt{1-\sin ^{2}y}$. Para $y\in \lbrack -\pi /2,\pi /2]$, $\cos y=\sqrt{1-\sin ^{2}y}\geq 0$, y $% y=\arcsin x\Leftrightarrow x=\pecado y$ (ver funciones trigonométricas Inversas). Luego, por la regla de la función inversa tenemos

$$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{\dfrac{dx}{dy}}=\dfrac{1}{\dfrac{d}{dy}\sin y}=\frac{1}{\cos y}=\dfrac{1}{\sqrt{1-\sin ^{2}y}}=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}.$$

Answer 4

Usted está casi allí. Solo necesitas llevar $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos y}$ y expreso de ambas partes en términos de $sin(x)$ (LHS) y $x$ HR

LHS le dará lado izquierdo de la ecuación. Y recordando $x=sin(y)$ y una fórmula para $cos(y)$ en términos de $sin(y)$ va a llegar la RHS. $sec(y)$ es una distracción mejor evitar.

Answer 5

En primer lugar, tenga en cuenta que $\displaystyle \sin^{-1}: [-1,1] \to [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$

La variedad es importante, ya que para este rango, se tiene que si $y = \sin^{-1} x$$\cos y = \sqrt{1 - x^2}$, como hemos $\sin y = x$ e $\cos y \ge 0$ siempre $y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

es decir, puesto que $\sin^2 y + \cos^2 y = 1$, obtenemos $\cos y = \pm \sqrt{1 - x^2}$ y desde $\cos y \ge 0$, podemos decir $\cos y = \sqrt{1- x^2}$.

Ejercicio

Supongamos que hemos definido $\sin^{-1}x$ como el único ángulo de $\theta$ $[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}]$ tal que $\sin \theta = x$, ¿cuál es la derivada de la $\sin^{-1} x$?