Declaración:
Dejemos que $X$ sea un espacio topológico de Hausdorff. Entonces X es localmente compacto si y sólo si se da $x_0$ en $X$ y dada una vecindad $U$ de $x_0$ hay un vecindario $V$ de $x_0$ tal que $\overline{V}$ es compacto y $\overline{V}\subset U$ .
Prueba:
el conjunto $\overline{V}:=C$ es el conjunto compacto deseado que contiene una vecindad de $x_0$ .
Para demostrar lo contrario, supongamos $X$ es localmente compacto.
Dejemos que $x_0$ sea un punto arbitrario de $X$ . Desde $X$ es localmente compacto por lo que existe un conjunto compacto $C\subset X$ contiene una vecindad de $x_0$ . El $C$ es cerrado porque todo subespacio compacto de un espacio de Hausdorff es cerrado. Sea $U$ sea una vecindad arbitraria de $x_0$ . Tome el conjunto $A:=C − U$ . Está claro que $A$ es un subconjunto compacto de $C$ .
Por otro lado, si $A$ es un subespacio compacto del espacio de Hausdorff $X$ y $x_0\in X$ no está en $A$ entonces existen subconjuntos abiertos disjuntos $W$ y $W'$ de $X$ que contiene $x_0$ y $A$ respectivamente.
Ahora bien, si $V:=W\cap int(C)$ Entonces $\overline{V}\subseteq C$ . Todo subconjunto cerrado de un conjunto compacto es compacto por lo que $\overline{V}$ es compacto. Como $V\subseteq W$ , $W\cap W'=\varnothing$ así que $\overline{V}\cap A=\varnothing$ Está claro que $\overline{V}\subset C-A$ . Debido a $A:=C-U$ tenemos $\overline{V}\subset U$ , según se desee.
Su la equivalencia se desprende de la declaración simplemente.
