No siempre está claro qué se entiende por "la descripción más sencilla" de uno de los grupos de Lie excepcionales. En los ejemplos que has dado arriba, citas descripciones de estos grupos como automorfismos de estructuras algebraicas, y ciertamente es una buena manera de hacerlo, pero no es la única, y se puede argumentar que no son los más simples en términos de un criterio muy natural, que ahora describiré:
Digamos que se quiere describir un subgrupo $G\subset \text{GL}(V)$ donde $V$ es un espacio vectorial (no nos preocupemos demasiado por el campo de tierra, pero, si quieres, tómalo como $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ a efectos de este debate). Uno quisiera poder describir $G$ como el estabilizador de algún elemento $\Phi\in\text{T}(V{\oplus}V^\ast)$ , donde $\mathsf{T}(W)$ es el álgebra tensorial de $W$ . El álgebra tensorial $\mathsf{T}(V{\oplus}V^\ast)$ es reducible bajo $\text{GL}(V)$ Por supuesto, lo ideal sería poder elegir una definición "simple". $\Phi$ es decir, uno que se encuentra en algún $\text{GL}(V)$ -submódulo irreducible $\mathsf{S}(V)\subset\mathsf{T}(V{\oplus}V^\ast)$ .
Ahora bien, todos los grupos clásicos se definen de esta manera y, en cierto sentido, estas descripciones son lo más sencillas posible. Por ejemplo, si $V$ con $\dim V = 2m$ tiene una estructura simpléctica $\omega\in \Lambda^2(V^\ast)$ entonces el grupo clásico $\text{Sp}(\omega)\subset\text{GL}(V)$ tiene codimensión $m(2m{-}1)$ en $\text{GL}(V)$ que es exactamente la dimensión del espacio $\Lambda^2(V^\ast)$ . Así, la condición de estabilizar $\omega$ proporciona exactamente el número de ecuaciones que hay que recortar $\text{Sp}(\omega)$ en $\text{GL}(V)$ . Del mismo modo, las definiciones estándar de los otros grupos clásicos como subgrupos de transformaciones lineales que estabilizan un elemento en un $\text{GL}(V)$ -subespacio irreducible de $\mathsf{T}(V{\oplus}V^\ast)$ sean lo más "eficientes" posible.
En otra dirección, si $V$ tiene la estructura de un álgebra, se puede considerar la multiplicación como un elemento $\mu\in \text{Hom}\bigl(V\otimes V,V\bigr)= V^\ast\otimes V^\ast \otimes V$ y los automorfismos del álgebra $A = (V,\mu)$ son, por definición, los elementos de $\text{GL}(V)$ cuyas extensiones a $V^\ast\otimes V^\ast \otimes V$ fijar el elemento $\mu$ . A veces, si se sabe que la multiplicación es simétrica o asimétrica y/o sin trazos, se puede considerar $\mu$ como un elemento de un espacio vectorial más pequeño, como $\Lambda^2(V^\ast)\otimes V$ o incluso el $\text{GL}(V)$ -Módulo irreducible $\bigl[\Lambda^2(V^\ast)\otimes V\bigr]_0$ es decir, el núcleo de la cartografía de contracción natural $\Lambda^2(V^\ast)\otimes V\to V^\ast$ .
Esta es la definición ya tradicional de $G_2$ el grupo de Lie simple de dimensión $14$ : Una toma $V = \text{Im}\mathbb{O}\simeq \mathbb{R}^7$ y define $G_2\subset \text{GL}(V)$ como estabilizador del producto vectorial cruzado $\mu\in \bigl[\Lambda^2(V^\ast)\otimes V\bigr]_0\simeq \mathbb{R}^{140}$ . Obsérvese que la condición de estabilizar $\mu$ es esencialmente $140$ ecuaciones sobre elementos de $\text{GL}(V)$ (que tiene dimensión $49$ ), por lo que son muchas más ecuaciones de las que realmente se necesitan. (Si no se tira el subespacio definido por el elemento de identidad en $\mathbb{O}$ el exceso de ecuaciones necesarias para definir $G_2$ como un subgrupo de $\text{GL}(\mathbb{O})$ es aún mayor).
Sin embargo, como descubrieron Engel y Reichel hace más de 100 años, se puede definir $G_2$ en $\mathbb{R}$ mucho más eficiente: Tomando $V$ tener dimensión $7$ hay un elemento $\phi\in \Lambda^3(V^\ast)$ tal que $G_2$ es el estabilizador de $\phi$ . De hecho, desde $G_2$ tiene codimensión $35$ en $\text{GL}(V)$ que es exactamente la dimensión de $\Lambda^3(V^\ast)$ se ve que esta definición de $G_2$ es lo más eficiente que puede ser. (Sobre $\mathbb{C}$ el estabilizador del elemento genérico de $\Lambda^3(V^\ast)$ resulta ser $G_2$ cruzado con las raíces cúbicas de la unidad, por lo que la componente de identidad sigue siendo el grupo correcto, sólo hay que exigir además que fije una forma volumétrica en $V$ para que termines con $36$ para definir el subgrupo de codimensión $35$ .)
Para los otros grupos excepcionales, existen descripciones igualmente más eficientes que como automorfismos de álgebras. El propio Cartan describió $F_4$ , $E_6$ y $E_7$ en sus representaciones de dimensionalidad mínima como estabilizadores de polinomios homogéneos (que escribió explícitamente) sobre espacios vectoriales de dimensión $26$ , $27$ y $56$ de grados $3$ , $3$ y $4$ respectivamente. No cabe duda de que, en el caso de $F_4$ Esto es mucho más eficiente (en el sentido anterior) que la definición tradicional como automorfismos del álgebra de Jordan excepcional. En el $E_6$ caso, este es la definición estándar. Creo que, incluso en la $E_7$ caso, es mejor que la proporcionada por la construcción del "cuadrado mágico".
En el caso de $E_8\subset\text{GL}(248)$ Resulta que $E_8$ es el estabilizador de un determinado elemento $\mu\in \Lambda^3\bigl((\mathbb{R}^{248})^\ast\bigr)$ que es esencialmente el Cartan $3$ -en el álgebra de Lie de $E_8$ . Tengo la sensación de que esta es la descripción más "eficiente" de $E_8$ hay (en el sentido anterior).
Esta última observación es un caso especial de un fenómeno más general que parece haber sido observado por muchas personas diferentes, pero no sé dónde está escrito explícitamente en la literatura: Si $G$ es un grupo de Lie simple de dimensión mayor que $3$ entonces $G\subset\text{GL}({\frak{g}})$ es la componente de identidad del estabilizador de Cartan $3$ -forma $\mu_{\frak{g}}\in\Lambda^3({\frak{g}}^\ast)$ . Así, se puede recuperar el álgebra de Lie de $G$ a partir del conocimiento de su Cartan $3$ -forma sola.
Sobre las "distribuciones rodantes": Usted mencionó la descripción de $G_2$ en términos de "distribuciones rodantes", que es, por supuesto, la primera descripción (1894), por Cartan y Engel (independientemente), de este grupo. Muestran que el álgebra de Lie de los campos vectoriales de dimensión $5$ cuyos flujos conservan el $2$ -campo del plano definido por $$ dx_1 - x_2\ dx_0 = dx_2 - x_3\ dx_0 = dx_4 - {x_3}^2\ dx_0 = 0 $$ es un $14$ -de Lie de tipo $G_2$ . (Si los coeficientes son $\mathbb{R}$ , esta es la división $G_2$ .) Es difícil imaginar una definición más sencilla que ésta. Sin embargo, me inclino a no considerarla tan "sencilla", simplemente porque no es tan fácil obtener las ecuaciones de definición a partir de ella y, además, los campos vectoriales no son completos. Para obtener campos vectoriales completos, hay que tomar esto $5$ -espacio afín de dimensiones como un gráfico en un $5$ -de una variedad compacta. (En realidad, Cartan también hizo este paso en 1894, pero eso requeriría un poco más de descripción). Como $G_2$ no tiene ningún espacio homogéneo de dimensión inferior a $5$ En cierto sentido, no hay una manera "más sencilla" de $G_2$ que aparezca.
Lo que no parece mencionarse a menudo es que Cartan también describió de esta manera los otros grupos excepcionales como automorfismos de campos planos. Por ejemplo, muestra que el álgebra de Lie de $F_4$ se realiza como los campos vectoriales cuyos flujos preservan un determinado campo de 8 planos en un espacio de 15 dimensiones. Existen descripciones correspondientes de otras álgebras excepcionales como estabilizadores de campos planos en otras dimensiones. K. Yamaguchi ha clasificado estos ejemplos y, en cada caso, la escritura de fórmulas explícitas resulta no ser difícil en absoluto. Ciertamente, en cada caso, escribir las ecuaciones definitorias de este modo requiere menos tiempo y espacio que cualquiera de los métodos algebraicos conocidos.
Más observaciones: Para que esto no parezca demasiado misterioso, permítanme describir cómo va esto en general: Dejemos que $G$ sea un grupo de Lie simple, y sea $P\subset G$ sea un subgrupo parabólico. Sea $M = G/P$ . Entonces la acción de $P$ en el espacio tangente de $M$ en $[e] = eP\in M$ generalmente conservará una filtración $$ (0) = V_0 \subset V_1\subset V_2\subset \cdots \subset V_{k-1} \subset V_k = T_{[e]}M $$ tal que cada uno de los cocientes $V_{i+1}/V_i$ es una representación irreducible de $P$ . A esto le corresponderá un conjunto de $G$ -campos planos invariantes $D_i\subset TM$ con la propiedad de que $D_i\bigl([e]\bigr) = V_i$ . Lo que Yamaguchi muestra es que, en muchos casos (él determina las condiciones exactas, que no escribiré aquí), el grupo de difeomorfismos de $M$ que conservan $D_1$ es $G$ o bien tiene $G$ como su componente de identidad.
Lo que hace Cartan es elegir $P$ cuidadosamente para que la dimensión de $G/P$ es mínima entre las que satisfacen estas condiciones para tener un $D_1$ . Luego toma un subgrupo nilpotente $N\subset G$ tal que $T_eG = T_eP \oplus T_eN$ y utiliza la inmersión natural $N\to G/P$ para retirar el campo del avión $D_1$ para ser un campo plano invariante a la izquierda en $N$ que puede describirse de forma muy sencilla en términos de la multiplicación en el grupo nilpotente $N$ (que es difeomorfo a algún $\mathbb{R}^n$ ). Luego verifica que el álgebra de Lie de los campos vectoriales en $N$ que preservan este campo plano invariante a la izquierda es isomorfo al álgebra de Lie de $G$ . Este campo plano en $N$ es generador de corchetes, es decir, "no holonómico" en la terminología clásica. Por eso se le llama "distribución rodante" en algunas publicaciones. En el caso de los grupos excepcionales $G_2$ et $F_4$ la parabólica $P$ es de dimensión máxima, pero no es así en el caso de $E_6$ , $E_7$ y $E_8$ si no recuerdo mal.
