Demuestre la siguiente desigualdad mediante un argumento de inducción

Question

En alguna nota veo que el escritor afirma que la siguiente desigualdad es obvia usando un argumento de inducción:

\begin{equation} \left(\left(\frac{1}{n}\right)^n+\left(\frac{2}{n}\right)^n+\cdots+\left(\frac{n}{n}\right)^n\right)^{\frac{1}{n}}<1+\frac{1}{n} \end{equation} Pero no es obvio para mí. ¿Podría ayudarme a entender la supuesta solución obvia?

Answer 1

Como mi comentario resultó ser una respuesta, lo publicaré como tal.

Elevar ambos lados hasta el $n$ y denominadores claros. Debemos mostrar $$\sum_{k=1}^n{k^n}\le n^n\left(1+\frac1n\right)^n=(n+1)^n$$ Sin embargo, $$\sum_{k=1}^n{k^n}\le\int_1^{n+1}{x^n\mathrm{dx}}=\frac{x^{n+1}}{n+1}\Big|_1^{n+1}<\frac{(n+1)^{n+1}}{n+1}=(n+1)^n$$

Answer 2

No puedo demostrarlo por inducción, pero puedo demostrarlo.

Queremos demostrar que $\Big(\sum_{k=1}^n(k/n)^n\Big)^{1/n‎} < 1+‎\dfrac{1}{n}‎ $ .

Si $f(x) = x^n$ , ya que $f'(x) > 0$ para $n \ge 2$ y $0 < x < 1$ , $(k/n)^n \lt n\int_{k/n}^{(k+1)/n} x^n dx \lt ((k+1)/n)^n $ .

Por lo tanto,

$\begin{array}\\ \sum_{k=1}^{n-1}(k/n)^n &=\sum_{k=0}^{n-1}(k/n)^n\\ &\lt \sum_{k=0}^{n-1}n\int_{k/n}^{(k+1)/n} x^n dx\\ &= n\sum_{k=0}^{n-1}\int_{k/n}^{(k+1)/n} x^n dx\\ &= n\int_{0}^{1} x^n dx\\ &= \dfrac{n}{n+1}\\ \text{so}\\ \sum_{k=1}^{n}(k/n)^k &\lt 1+\frac{n}{n+1}\\ \end{array} $

Tomando la $n$ -th raíz $(\sum_{k=1}^{n}(k/n)^n)^{1/n} \lt (1+\dfrac{n}{n+1})^{1/n} $ .

Por la desigualdad de Bernoulli, $(1+x)^n \ge 1+nx$ o $(1+x/n)^n \ge 1+x$ .

Tomando la $n$ - raíz, $(1+x)^{1/n} \le 1+x/n$ .

Poner $x=n/(n+1)$ , $(1+n/(n+1))^{1/n} \le 1+(n/(n+1))/n =1+1/(n+1) $ .

Por lo tanto, $\Big(\sum_{k=1}^n(k/n)^n\Big)^{1/n‎} < 1+‎\dfrac{1}{n+1}‎ $ que es ligeramente mejor que lo que se pedía.

Podemos estimar con precisión la suma observando que $(1-k/n)^n \approx e^{-k} $ para los pequeños $k$ , por lo que

$\begin{array}\\ \sum_{k=1}^n(k/n)^n &=\sum_{k=0}^{n-1}((n-k)/n)^n\\ &=\sum_{k=0}^{n-1}(1-k/n)^n\\ &\approx\sum_{k=0}^{n-1}e^{-k}\\ &\approx \dfrac{1}{1-1/e}\\ &= \dfrac{e}{e-1}\\ &=1+ \dfrac{1}{e-1}\\ &\approx 1.582\\ \end{array} $

Por lo tanto, $(\sum_{k=1}^n(k/n)^n)^{1/n} \approx (1+ \dfrac{1}{e-1})^{1/n} \approx 1+ \dfrac{1}{n(e-1)} $ .