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¿Teorías de conjuntos sin teoremas "basura"?

Está claro que primero tengo que definir formalmente lo que entiendo por teorema "basura". En el habitual construcción de números naturales en la teoría de conjuntos un efecto secundario de esa construcción es que obtenemos tal teoremas como $2\in 3$ , $4\subset 33$ , $5 \cap 17 = 5$ et $1\in (1,3)$ pero $3\notin (1,3)$ (como pares ordenados, en la presentación habitual).

Formalmente: Dada una teoría axiomática T, y un modelo de la teoría M en teoría de conjuntos, una sentencia verdadera $S$ en el lenguaje de la teoría de conjuntos es un teorema de la basura si no expresa una sentencia verdadera en T.

¿Sería correcto decir que teoría estructural de conjuntos es un intento de deshacerse de esos teoremas basura?

EDIT: como se ha señalado $5 \cap 17 = 5$ podría interpretarse correctamente en la teoría de entramados como que no es un teorema basura. El problema que tengo es que (desde la perspectiva de las ciencias de la computación) esto no es modular: uno está confundiendo la implementación concreta (en términos de conjuntos) con la firma abstracta de la TAD (de celosías). Por lo demás, las matemáticas son muy modulares (eso es lo que captan muy bien los Functores, por ejemplo), ¿por qué no la teoría de conjuntos también?

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david6 Puntos 371

Siendo la pregunta: "¿Sería correcto decir que la teoría estructural de conjuntos es un intento de deshacerse de tales teoremas basura?", la respuesta creo que es "sólo en parte o sólo si es extremadamente limitada".

Haciendo clic en el enlace, encuentro una teoría llamada ETCS como ejemplo de teoría estructural de conjuntos. ETCS tiene 0, N (los números naturales), y S (la función de sucesión) como primitivos en su lenguaje, y asume efectivamente como axiomas las suposiciones normales sobre ellos (por ejemplo, asume la existencia y unicidad de la recursión).

Obviamente, si se asumen 0, N y S como primitivos y se hacen las suposiciones normales sobre ellos, en lugar de construirlos y demostrar las suposiciones normales (el trabajo honesto de Russell en lugar del robo), entonces uno puede evitar los teoremas basura sobre los números naturales . Se podría conseguir el mismo efecto, modificando ZFC introduciendo las mismas primitivas y asumiendo, además de los axiomas normales de ZFC, los Axiomas de Peano.

Sin embargo, ETCS no se deshace de todos los teoremas basura, a menos que se suponga que sólo se trata de la aritmética y los números naturales. Si, por ejemplo, se supone que también permite la construcción de los números reales y el desarrollo del análisis, entonces seguirá obteniendo teoremas basura sobre los números reales.

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vanni Puntos 1

Los problemas que menciona se producen por dos razones relacionadas:

  • Objetos como el conjunto de los números reales, que no pertenecen intrínsecamente a la teoría de conjuntos, están "codificados" como un conjunto, por lo que podemos hacer preguntas sin sentido y obtener respuestas basura.
  • La codificación no es natural ni canónica, y diferentes codificaciones del mismo objeto dan lugar a diferentes conjuntos de teoremas basura.

Parece que la Teoría de Tipos de Homotopía aborda estas cuestiones:

  • En primer lugar, no se pueden hacer preguntas sin sentido que impliquen tratar un término de un tipo como si fuera de otro tipo (como tratar un par ordenado como un conjunto, o como un real).
  • En segundo lugar, el tipo de igualdad $A = B$ de dos tipos se define como el espacio de isomorfismos entre dichos tipos, por lo que los objetos isomórficos son iguales (en el sentido de que el tipo de igualdad está habitado). Esto significa que diferentes codificaciones de un mismo objeto (como el conjunto de los números reales) corresponden a tipos iguales.

El primero de estos puntos se aplica igualmente a la teoría ordinaria del tipo Martin-Löf; el segundo se basa en el poderoso axioma de univalencia de Voevodsky.

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tal Puntos 2231

Entre las muchas realidades sutiles de las matemáticas del siglo XXI, la más sorprendente es la falta de imaginación. El lenguaje de la teoría de conjuntos está construido desde cero para ser lo más sencillo posible. Apreciar la complejidad inherente y la información codificada en enunciados tan sencillos (incluso los que no te parecen estéticamente agradables) requiere desapego.

Este desprendimiento del que hablo es la clara distinción entre: sintaxis y semántica. Los enunciados hechos en el lenguaje formal no tienen absolutamente ningún significado fuera de la manipulación formal, y por lo tanto no están destinados a ser vistos como algo más que símbolos sin significado.

Sólo cuando se atribuye un significado (o una interpretación) a estos símbolos se puede decir algo de valor.

Dicho esto:

Los ejemplos que das no son en realidad afirmaciones en el lenguaje de la teoría de conjuntos; son artefactos de una falta general de comunicación entre la teoría lógica/modelo y el resto de las matemáticas. Los símbolos que has encadenado (1, $2$ , 5, $4 \subset 54$ , $\cap$ etc.) son ejemplos de nociones definidas, que se utilizan por comodidad.

Y cuando atribuimos un significado a estas afirmaciones, sucede algo sorprendente:

¿Qué es lo que $2 \in 3$ se convierte en el obviamente verdadero

$\{ \{\}, \{\{\}\} \} \in \{\{\}, \{ \{\}, \{\{\}\} \}\}$

y $1 \in \langle 0, 3 \rangle$ se convierte en

$\{\{\}\} \in \{ \{ \{\} \}, \{ \{\{\}, \{ \{\}, \{\{\}\} \}\} \}\}$

En resumen:

Confundes el lenguaje formal con la interpretación real del lenguaje.

Por tanto, se enfrenta a algo que todo el mundo conoce desde el siglo XIX:

Nuestra percepción impone una estructura "fantasma" al universo en un intento de que tenga sentido; no al revés.

PD: Siéntase libre de editar. También podrías cambiar el título, ya que el post que quería poner aquí me habría baneado.

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