La irracional eficacia de la física en las matemáticas. ¿Por qué? ¿Qué/cómo coger?

Question

A partir de los años 80, las ideas procedentes de la física o de los propios físicos (por ejemplo, Witten) están dando forma a muchas direcciones en las matemáticas. Resulta tentador parafraseando a E. Wigner , diciendo sobre "La irracional eficacia de la física en las matemáticas".

¿Cuáles pueden ser las razones?

¿Tienen los físicos algunas herramientas/ideas/técnicas que les permiten hacer percepciones, que no se ven para los matemáticos? ¿O es sólo porque Witten&K son muy... muy inteligentes?

Si, si, ¿cuáles son estas herramientas/ideas? Cómo aprenderlas/absorberlas/(ponerlas en el marco de las matemáticas) ?

¿Cuáles pueden ser las aplicaciones posteriores de estas ideas?

---

Siendo un matemático, pero trabajando en el entorno de los físicos durante muchos años, he pensado en estas cuestiones durante bastante tiempo. La reciente pregunta de MO Matemático que intenta aprender la teoría de las cuerdas me impulsa a preguntarlo aquí.

Yo pensaría que sí, que existen esas "ideas". Pero de algunos matemáticos destacados he escuchado una opinión contraria.

Mi vaga sensación es que la teoría cuántica de campos y la teoría de cuerdas es algo así como un análisis/geometría diferencial en colectores de dimensión infinita. Pero estos colectores no son abstractos, digamos colectores modelados de Banach, cuya teoría no es tan rica, sino una especie de mapas de un colector de dimensión finita a otro, que tiene ciertas estructuras específicas que no son totalmente reveladas por los matemáticos. Por ejemplo, las álgebras de operadores de vértice surgen de los mapas del círculo a la variedad, si no mapeamos el círculo, sino algo de mayor dimensión, debería haber algo más complicado. Otra cuestión es la integral de Feynman, que permite a los físicos utilizar técnicas de integración en problemas geométricos, no está bien definida matemáticamente, pero puede ser que no pueda ser definida en forma muy general de integrales de dimensión infinita, pero de nuevo los físicos tienen una intuición de dónde puede ser definida, dónde no, y una teoría matemática adecuada debería aclarar primero la configuración donde existe, en lugar de intentar construir una teoría general que podría no existir. Estas palabras son probablemente muy vagas, por lo que podría ser respuestas ayudar a aclarar.

---

Creo que todo el mundo sabe que la influencia de la física se produjo a partir de los años 80, pero para completarlo, permítanme mencionar sólo algunos.

Donaldson utilizó los espacios de moduli de los instantones en su estudio de los 4 pliegues.

Faddeev, Drinfeld y otros crearon grupos cuánticos

La teoría de la representación de las álgebras de dimensión infinita ha estado muy influenciada por los desarrollos de la teoría de campos conformes.

Las contribuciones de Witten son numerosas, su medalla Fields dice más de lo que puedo decir.

Simetría en el espejo, cohomología cuántica, etc.

Los trabajos de Kontsevich y Okounkov, galardonados con la Medalla Fields, están muy influenciados por la física.

Y así sucesivamente...

Answer 1

Mi opinión es que los físicos pasaron del estudio de "objetos individuales" al de "grandes sistemas" en los que el orden surge de leyes de probabilidad límite y no de simples fórmulas deterministas, y del estudio de algo "fácilmente observable" a algo que es, esencialmente, "un objeto puramente matemático" invisible a un experimento directo. Esto les llevó al ámbito tradicionalmente reservado a los matemáticos puros. Y, por supuesto, con su afán de utilizar cualquier herramienta disponible de cualquier manera que no sea una locura total, pasaron a hacer predicciones, muchas de las cuales pudieron ser confirmadas experimentalmente, dejando un largo rastro de éxitos y fracasos a su paso para que los matemáticos los expliquen.

No conozco la situación de la teoría de cuerdas y la topología de baja dimensión, pero tengo alguna idea de lo que ocurre en las matrices aleatorias (gracias a Mark Rudelson y su brillante serie de conferencias) y en la percolación/cero aleatorio (gracias a Stas Smirnov y Misha Sodin). Lo que salva a los físicos de cometer burdos errores allí son varias "leyes de universalidad".

He aquí un argumento típico de los físicos (Bogomolny y Schmidt). Se quieren estudiar los dominios nodales de una onda aleatoria gaussiana $F$ (la transformada de Fourier del ruido blanco en la esfera unitaria multiplicada por la medida de la superficie). Supongamos que estamos en la dimensión 2 y que sólo queremos conocer el número típico de líneas nodales (componentes del conjunto $\{F=0\}$ ) por unidad de superficie. La función aleatoria estacionaria $F$ sólo tiene una decadencia de potencia de las correlaciones. Sin embargo, ignoramos eso y lo modelamos con una red cuadrada que tiene la misma longitud por unidad de área que $F$ (es una cantidad computable si se utilizan algunos trucos de geometría integral estándar). Ahora, en cada intersección de las líneas de la red, elegimos una de las dos formas naturales de separarlas (piensa en la intersección como en un punto de silla de montar, siendo las líneas de cruce las líneas de nivel en el nivel de la silla). Entonces, se nos plantea una cuestión (aún no resuelta a nivel matemático, por cierto) sobre un modelo de tipo percolación pura. Pensando por analogía una vez más, obtenemos una predicción numérica.

Desde el punto de vista de un matemático, todo esto es un galimatías patentado. No hay manera de reducir un proceso a otro (o, al menos, nadie tiene la menor idea de cómo podría hacerse en el momento de escribir este artículo). Aun así, la Naturaleza tiene la amabilidad de hacer que las respuestas sean iguales o casi iguales para todo tales procesos y las Matemáticas son lo suficientemente potentes como para dar una respuesta (o parte de una respuesta) a algunos modelos, así que los físicos hacen una simulación y, voilá, todo es como lo predijeron y nos quedan 20 años de trabajo más o menos para averiguar qué es lo que realmente ocurre allí.

No me quejo, sino todo lo contrario: esta historia es realmente apasionante y el trabajo mencionado es real y fascinante. En esencia, estamos de vuelta a los días en que Newton intentaba explicar la naturaleza de la gravedad, mirando las leyes de Kepler, probando varias opciones y separando lo que funciona de lo que no. Sólo digo que la famosa "intuición de los físicos", tan sobrevalorada, es en realidad la benevolencia de la Naturaleza. Por qué la Naturaleza ha de ser tan benévola con nosotros sigue siendo un misterio y no conozco a ningún físico, ni a ningún matemático, que pueda arrojar luz al respecto. La mejor explicación hasta el momento está contenida en las palabras de Einstein "Dios es sutil, pero no malicioso", o, de forma algo menos enigmática, "la Naturaleza oculta su misterio mediante su grandeza esencial, no mediante su astucia".

Answer 2

Esta cuestión se discute muy bien en el artículo de Ruelle,

Ruelle, David(F-IHES) ¿Son naturales nuestras matemáticas? El caso de la mecánica estadística de equilibrio. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 19 (1988), nº 1, 259-268.

Pero realmente no tiene una respuesta, y quizás nadie tenga una respuesta exacta.

Mi opinión es que una gran parte de las matemáticas (algunos dicen que toda, pero yo no estoy de acuerdo) en realidad proviene de la física. Si esto es así, no es de extrañar que la física ayude en descubrir nuevos teoremas. Y no hay nada irrazonable en esto.

Utilizando el ejemplo de Ruelle, si alguna vez descubrimos una civilización extraterrestre, su matemáticas (la mayor parte de ellas) deben ser equivalentes a una gran parte de nuestras matemáticas. Estoy convencido de que esto es así. La mayor parte de las matemáticas están determinadas de alguna manera por las leyes de la naturaleza, es decir, por la física.

Una explicación completamente diferente (con la que no puedo estar completamente de acuerdo) es que algunos físicos son simplemente personas muy inteligentes, y una vez que empiezan a pensar en las matemáticas, descubren nuevas cosas, y cuando ellos (los físicos) publican estas cosas todo el mundo dice que estos resultados "provienen de la física". Estoy de acuerdo en que esto sucede a veces, pero en mi opinión esto es una pequeña parte del panorama.

No quiero dar ejemplos (estoy seguro de que se darán muchos), pero sólo quiero señalar que este fenómeno (la eficacia "irracional" de la física en las matemáticas) ocurre desde el principio de las matemáticas (y de la física). Me refiero a los notables trabajos de obra de Arquímedes, Un método de teoremas mecánicos, donde utiliza el razonamiento físico para demostrar o adivinar teoremas puramente matemáticos. Este ejemplo puede servir para defender cualquiera de las dos explicaciones anteriores:-)

Answer 3

Me parece que la respuesta a: "¿Tienen los físicos algunas herramientas/ideas/técnicas que les permiten hacer percepciones, que no se ven para los matemáticos?" es, efectivamente, sí. No sólo existe esa herramienta, sino que, en mi opinión, es única: las integrales funcionales. Las predicciones basadas en esa herramienta son las que a los matemáticos les cuesta reproducir y justificar utilizando teorías rigurosas bien establecidas. Imaginemos un mundo en el que todavía no supiéramos definir una integral ordinaria de forma rigurosa, por ejemplo, mediante sumas de Riemann, pero en el que los físicos, ingenieros, etc. las utilizaran a diario y con gran éxito. Esto sería bastante similar a la situación actual con la teoría heurística de las integrales funcionales desarrollada por los físicos. Además, existe un área de las matemáticas que pretende construir y estudiar estos objetos de forma rigurosa: la teoría cuántica de campos constructiva o la teoría de grupos de renormalización rigurosa.

Answer 4

Después de votar y secundar las respuestas de "Hollowdead" y Alexandre E (y varios comentarios)... Se podría continuar con la idea de que la supuesta distinción entre "matemáticas" y "física" es más bien un conjunto de convenciones, artefactos del desarrollo de las universidades, artefactos del impulso humano de "clasificar", etc. Otro elemento peculiar que parece haber impulsado la "necesidad" de distinguir estas materias es la fijación matemática de los tiempos modernos en un determinado estilo de "prueba" (a pesar de la importancia real de la heurística, por ejemplo, de la física) como el sine-qua-non de las "matemáticas". Así, los argumentos/computaciones heurísticos en física a menudo no se "califican" como "matemáticas"... incluso cuando en el mejor de los casos Witten y otros "físicos" han sido llevados a sospechar que la matemática definida por la prueba podría proceder de cierta manera que resultó fructífera.

Mi percepción de mi propia "intuición" para las matemáticas es que son "físicas" en un sentido informal, incluso en temas que no forman parte del canon de la física, ni de la "mecánica", ni... Para mí, esta "fisicalidad" incluye muchos temas de la "teoría de números" o de la "teoría de Galois" o del "álgebra lineal" que a veces se cuentan como "matemáticas abstractas" más que como "realidad física", aunque no estoy de acuerdo con las afirmaciones de que esto es "abstracto".

Sí, por supuesto, es posible emplear un estilo narrativo que se desvincula específicamente de la "intuición física", y hubo motivaciones históricas para, al menos, establecer la posibilidad de razonamiento que no dependía de la "fisicalidad", ya que se llegaba a algunas conclusiones incorrectas por confiar en la "intuición física" en situaciones que estiraban demasiado nuestras/limitaciones humanas.

Otra noción (que en parte apoyo) es que, dado que los humanos (y los extraterrestres) están en el mundo físico, la noción de que las matemáticas (o cualquier otra cosa) podrían trascender o desconectarse completamente de este mundo parece improbable, o sin sentido, o tautológicamente imposible, dependiendo...

Y está la noción de pseudoparadoja de "falsa coincidencia": no nos damos cuenta de los casos en que X es irrelevante para Y, ni lo comentamos. :)

Por lo tanto, de una manera u otra, sí creo que la "sorprendente eficacia de la física en las matemáticas" se debe a una tergiversación de las ideas subyacentes, y a una estilización y compartimentación artificial de las asignaturas oficiales, junto con una no tan inusual coincidencia-falacia que lo amplifica todo.

Answer 5

Creo que, dado que la física teórica está realmente cerca del límite en su búsqueda de la comprensión de los bloques de construcción de nuestro universo, elige las estructuras matemáticas "adecuadas" para su desarrollo. La teoría cuántica de campos y la teoría de cuerdas son un laboratorio de grandes ideas matemáticas, por lo que las estructuras matemáticas inapropiadas (las que no son adecuadas para la descripción de la realidad) se dejan de lado y, por selección natural, se acentúan las estructuras, herramientas e ideas matemáticas adecuadas y útiles. Su pregunta se transforma entonces en la siguiente: ¿cuál es la interacción entre el mundo de las matemáticas y el mundo real, y existen realmente las matemáticas de alguna manera?

De las consideraciones anteriores se desprende que no hay manera de absorber las ideas físicas en el marco de las matemáticas, a menos que las propias matemáticas cambien su objetivo de buscar la verdad absoluta a buscar la verdad sobre la naturaleza, es decir, a menos que las matemáticas se transformen en física matemática.