Un ejercicio de Conway Functional Analysis

Question

Dejemos que $X$ sea un TVS complejo, $f:X \to \mathbb{C}$ sea un funcional lineal continuo no nulo. Demostrar que el complemento de $\ker f$ está conectado.

Answer 1

Supongamos que $X \setminus \ker f$ está desconectado, entonces existe la separación de $ X \setminus \ker f$ tal que $U$ , $V$ son conjuntos abiertos disjuntos cuya unión es $X \setminus \ker f$ . Es decir $U \cup V=X \setminus \ker f$ . A continuación, aplique $f$ ambos lados obtendremos $\Bbb{C} \backslash 0=f(U)\cup f(V)$ , ya que $f$ es una función lineal continua y suryente, por lo que $f(U)$ et $f(V)$ son conjuntos abiertos disjuntos. Por lo tanto, esto da la separación de $\Bbb{C} \backslash 0$ , de ahí la contradicción. Dado que $\Bbb{C} \setminus 0$ está conectado.