Dejemos que $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ definido por $f_a(x) = e^{ax}$ .
a) Demostrar que $f(x) = e^x$ no es uniformemente continua.
b) Determine para qué valores de $a$ la función $f_a(x)$ es uniformemente continua sobre $[0, \infty)$ .
Lo he intentado:
Para a) Supongamos que $e^x$ es uniformemente continua en $\mathbb {R}$ .
Dejemos que $\epsilon = 1$ . Por lo tanto, hay $\delta >0$ tal que para todo $x,y\in \mathbb R$ si $|x-y|<\delta $ entonces $|e^x-e^y| < 1$ Así que $a=\delta/2$ ya que $\lim_{x\to\infty }e^x=\infty$ y como $e^a-1>0$ entonces $\lim_{x\to \infty }e^x(e^a-1)=\infty$ . Por lo tanto, hay un poco de $x\in \mathbb {R}$ tal que $e^x(e^a-1)>1$ . Sin embargo, al tomar $y=x+a$ tenemos $|x-y|<\delta$ mientras que $|e^x-e^y|=e^x(e^a-1)>1$ una contradicción.
¿Es eso correcto?
Pueden ayudarme para b) tengo problemas para determinar estos valores , si $a<1$ No estoy seguro de si $f_a(x)$ es uniformemente continua, por favor alguna ayuda.
