Supongamos que $$A:=\sum a_nx^n< \infty $$
para |x|<2. Sea $$|b_n|<n^2|a_n|$$
Demuestra que $$B:=\sum b_n x^n < \infty$$
para |x|<2.
Mi trabajo: sabemos que A converge uniformemente dentro del intervalo (-2,2). Diferenciamos término a término para obtener
$$A':=\sum na_nx^{n-1}< \infty $$
y sabemos que A' tiene el mismo radio de convergencia que A.
Ahora, ¿puedo multiplicar A' por potencias de x para obtener otras series convergentes? Creo que puedo pero no estoy 100% seguro, ya que los sumandos serán más grandes.
Puedo decir que, basándome en la convergencia de A', entonces
$$\sum na_nx^n< \infty $$
para |x|<2? Simplemente he multiplicado A' por una potencia de x.
Si eso es válido y no cambia el radio de convergencia, entonces lo hago una vez más para obtener
$$\sum n^2a_nx^{n-1}< \infty $$
implica
$$ \sum n^2a_nx^n< \infty $$
para |x|<2. (Primero diferenciar término por término, luego multiplicar por una potencia de x.)
Por último, utilizando el límite $|b_n|<n^2|a_n|$ Quiero utilizar la prueba de comparación y decir que como
$$\sum|b_n||x|^n<\sum n^2|a_n||x|^n$$
entonces, de alguna manera $\sum|b_n||x|^n$ converge para |x|<2, lo que implica que
$\sum b_nx^n$ converge para |x|<2 como se iba a demostrar.
El problema es que no sé si la serie absoluta $\sum n^2|a_n||x|^n$ converge. Sabemos que la convergencia absoluta implica convergencia, pero no creo que lo contrario sea cierto.
¿Cómo puedo ajustar mi solución para llegar a la respuesta correcta?
Gracias,
