Demuestra con sólo álgebra que la intersección de una esfera y un plano es una circunferencia

Question

He visto pruebas que utilizan un enfoque geométrico mediante la construcción de segmentos perpendiculares, etc., pero ningún enfoque puramente algebraico.

Consideremos para simplificar que la esfera es $x^2+y^2+z^2=R^2$ y el plano es $ax+by+cz+d=0$ con las restricciones apropiadas, de manera que el plano intersecte la esfera y $(a,b,c)\neq (0,0,0)$ .

Answer 1

Dejemos que $t=-\frac d{a^2+b^2+c^2}$ . Entonces $(x_0,y_0,z_0)=(at,bt,ct)$ es un punto en el plano. Si $(x,y,z)$ está en el plano y también en la esfera, entonces $$\begin{align}(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2&=x^2+y^2+z^2+x_0^2+y_0^ 2+z_0^2\\&\quad -2(x_0x+y_0y+z_0z)\\&=R^2+x_0^2+y_0^2+z_0^2-2t(ax+by+cz)\\&=R^2++x_0^2+y_0^2+z_0^2+2td\\&=\text{const.} \end{align}$$