¿Un operador de x conmuta con el operador diferencial respecto a x?

Question

Mientras resolvía un problema de Mecánica Cuántica obtuve una expresión $ \frac{d}{dx}V(x)-V(x)\frac{d}{dx} $ . El primer término es simplemente la derivada del potencial, pero el segundo parece un poco extraño. ¿Existe una relación de conmutación entre los dos operadores? ¿Puedo escribir la suma como cero?

Answer 1

En general, en la mecánica cuántica, pero también en la teoría general de los operadores diferenciales lineales de primer orden, si $\psi \in H$ es un vector en algún espacio vectorial (posiblemente de Hilbert) $H$ y $A$ y $B$ son operadores (no necesariamente acotados) sobre $H$ tomamos $(AB) \psi \equiv A(B\psi)$ . Así,

$(\dfrac{d}{dx} V(x))\psi = \dfrac{d}{dx}(V(x)\psi) = V^\prime(x) \psi + V(x) \psi^\prime, \tag{1}$

mientras que

$(V(x)\dfrac{d}{dx})\psi = V(x)\psi^\prime. \tag{2}$

Así,

$[\dfrac{d}{dx}, V(x)]\psi = V^\prime(x) \psi \ne 0 \tag{3}$

en general. El mismo fenómeno se produce al considerar los campos vectoriales como operadores de primer orden $X$ y funciones $f(x)$ , donde

$X = \sum X_i(x) \dfrac{\partial}{\partial x_i}; \tag{4}$

entonces un cálculo fácil muestra que

$[X, f]\psi = X(f) \psi; \tag{5}$

Las fórmulas como (5) surgen con frecuencia cuando se trata de campos vectoriales en variedades, etc.

Espero que esto ayude. Saludos,

y como siempre.

¡¡Fiat Lux!!

Answer 2

Utilicemos una sobrecarga $\;\overline{(\cdots)}\;$ para acentuar una expresión $\;(\cdots)\;$ es un operador sobre el espacio de las funciones suficientemente regulares para que todo tenga sentido. En mecánica cuántica, éste es el espacio de las funciones de onda. La expresión que nos ocupa significa realmente $$\overline{\frac{d}{dx}}\overline{V(x)} - \overline{V(x)}\overline{\frac{d}{dx}}\tag{*1}$$ que es un conmutador de dos operadores:

• $\displaystyle\;\overline{\frac{d}{dx}}\;$ es el operador que diferencia la expresión a su derecha con respecto a $x$ .

• $\displaystyle\;\overline{V(x)}\;$ es el operador de multiplicar una función a su derecha por la función escalar $V(x)$ .

Si se aplica este conmutador a una función $\phi$ se obtiene otra función $\psi$ .

$$\left[\overline{\frac{d}{dx}}\overline{V(x)} - \overline{V(x)}\overline{\frac{d}{dx}}\right]\phi = \psi$$

Para ver qué significa esto, hay que evaluar ambos lados en algún número real $s$ . Usted obtiene

$$\begin{align} \psi(s) = & \left\{\left[\overline{\frac{d}{dx}}\overline{V(x)} - \overline{V(x)}\overline{\frac{d}{dx}}\right]\phi\right\}(s)\\ &= \left.\frac{d}{dx}\left(V(x)\phi(x)\right) - V(x)\frac{d}{dx}\left(\phi(x)\right)\right|_{x=s}\\ &= V'(s) \phi(s)\\ &= \left\{\overline{V'(x)}\phi\right\}(s) \end{align}$$ Dado que esto es cierto para todos los $s$ Esto lleva a

$$\psi = \left[\overline{\frac{d}{dx}}\overline{V(x)} - \overline{V(x)}\overline{\frac{d}{dx}}\right]\phi = \overline{V'(x)}\phi$$

Como esto es cierto para todos los $\phi$ encontramos

$$\overline{\frac{d}{dx}}\overline{V(x)} - \overline{V(x)}\overline{\frac{d}{dx}} = \overline{V'(x)}$$

es decir, el operador $(*1)$ es igual al operador $\overline{V'(x)}$ que multiplicando la función a su derecha por la función escalar $V'(x)$ .

Cuando uno trabaja con este tipo de expresiones, suele abusar de la notación y escribir todo el lío como

$$\frac{d}{dx} V(x) - V(x) \frac{d}{dx} = V'(x)$$

Cuando uno ve una expresión como ésta en la mecánica cuántica, debe tener cuidado. Puede significar cosas diferentes en distintas situaciones.

Answer 3

No, este es un operador $\displaystyle (\frac{d}{dx}V(x)-V(x)\frac{d}{dx})\psi=(\frac{d}{dx}V(x))\cdot\psi-V(x)\frac{d\psi}{dx}$ o algo así...

La forma rara se refiere a la Soporte de la mentira $\displaystyle\left[\frac{d}{dx},V\right]$ en Liealgebra.