Intervalo de confianza para la media

Question

Digamos que dibujamos $49$ números de $1,\ldots,100$ sin devolverlos. Entonces utilizamos la media aritmética de la muestra. $$M=\frac{1}{49}\sum_{i=1}^{49}X_i$$

Me dieron la pista de que $M$ tiene una distribución aproximadamente normal a pesar de las dependencias en los sorteos. Ahora tengo que determinar un intervalo simétrico $J$ alrededor de la media con $\mathbb{P}(M\in J)\approx0.95$

Mi idea era utilizar la varianza y la covarianza para resolver este problema.

$$Var\left(\frac{1}{49}\left(X_1+\ldots+X_{49}\right)\right)$$

$$=\frac{1}{49^2}\left(49\cdot Var(X_1)+49\cdot48Cov(X_1,X_2\right))$$

Pero no estoy seguro de cómo funciona esto

Answer 1

El valor esperado de la media $M$ es $$ \mu = \frac{1}{49} \sum_{i=1}^{49} \Bbb E X_i \, , $$ y su varianza es $$ \sigma^2 = \frac{1}{49^2} \left( \sum_{i=1}^{49} \text{var} X_i + 2 \sum_{1\leq i<j\leq 49} \text{cov} (X_i,X_j) \right) . $$ Siguiendo la indicación, podemos suponer que $M \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ o, por el contrario $\tfrac{M - \mu}{\sigma} \sim \mathcal{N}(0,1)$ . Ahora, estamos buscando $J = \left[\mu-\varepsilon,\mu+\varepsilon\right]$ tal que $\Bbb P (M \in J) = 0.95$ , o de forma equivalente, $$ \Bbb P \left(-\tfrac{\varepsilon}{\sigma} \leq \tfrac{M-\mu}{\sigma} \leq \tfrac{\varepsilon}{\sigma}\right) = 0.95 \, . $$ Un esquema de la f.d.p. de la normal estándar muestra que $\Phi(\frac{\varepsilon}{\sigma}) = 0.975$ , donde $\Phi$ denota la f.d.c. de la normal estándar. Por lo tanto, $\varepsilon = \sigma\, \Phi^{-1}(0.975) \approx 1.96\, \sigma$ . Un intervalo de confianza de este tipo para $M$ es por lo tanto $$ J \approx \left[\mu-1.96\, \sigma,\mu+1.96\, \sigma\right]\, . $$

Answer 2

Para determinar $\mathrm{cov}(x_1,x_2)$ Hay un truco. Tenemos

$$\mathrm{var}(x_1+x_2+\cdots+x_{100})=0=100\,\mathrm{var}(x_1)+100\times 99\,\mathrm{cov}(x_1,x_2),$$

porque cuando se extraen todos los números, el resultado es seguro, y porque cada número se trata en igualdad de condiciones en el procedimiento aleatorio, $\mathrm{var}(x_1)=\mathrm{var}(x_2)=\ldots=\mathrm{var}(x_{100})$ y $\mathrm{cov}(x_1,x_2)=$ $\mathrm{cov}(x_1,x_3)=\ldots=\mathrm{cov}(x_{99},x_{100})$ . Como sabemos

$$\mathrm{var}(x_1)=\frac{1}{100}(1^2+2^2+\cdots+100^2)-\left(50\frac{1}{2}\right)^2=833\frac{1}{4},$$

de la primera ecuación tenemos

$$\mathrm{cov}(x_1,x_2)=-\frac{1}{99}\mathrm{var}(x_1)=-8\frac{5}{12}.$$

Entonces se puede determinar la varianza de la suma parcial $\,x_1+x_2+\cdots+x_{49\,}$ y el intervalo de confianza correspondiente.