Lógica de predicados que traduce "todo menos uno"

Question

Necesito traducir a la lógica de predicados una oración en inglés que incluye la frase "all but one". La frase es: "Todos los estudiantes menos uno tienen conexión a Internet". No estoy seguro de cómo mostrar "todos menos uno" en la lógica.

Podría decir $\forall x ((x \neq a) \rightarrow I(x))$

$I(x)$ siendo " $x$ tiene una conexión a Internet"

Pero está claro que eso no funcionaría en este caso, ya que no sabemos de qué alumno se trata.

Podría decir que $\exists x(\neg I(x))$

Pero no parece que tenga el mismo significado. ¡Gracias de antemano por la ayuda que puedan prestarme!

Answer 1

Si quiere decir que hay exactamente uno con una propiedad determinada, se puede definir un cuantificador de "existencia única", $\exists!$ de la siguiente manera: $$ \exists!x : \varphi(x) \iff \exists{x}{:}\left[\varphi(x)\wedge \forall{y}:\left(\varphi(y){\iff} y=x\right)\right]. $$ Es decir, un elemento particular $x$ tiene la propiedad $\varphi$ y cualquier elemento con la propiedad $\varphi$ debe ser ese mismo $x$ . Para su problema, quiere decir que hay exactamente una persona que es estudiante y no tiene acceso a Internet.

Answer 2

"Todos los estudiantes menos uno tienen conexión a Internet" significa que hay un estudiante que carece de conexión, mientras que todos los demás (¡todos los estudiantes que no son idénticos al desafortunado!) la tienen. Así que (si el dominio es, por ejemplo, personas)

$$\exists x(\{Sx \land \neg Ix\} \land \forall y(\{Sy \land \neg y = x\} \to Iy))$$

Answer 3

"Para todos menos para uno $\;x\;$ , $\;P(x)\;$ es lo mismo que "existe un único $\;x\;$ tal que $\;\lnot P(x)\;$ se mantiene.

Normalmente, la notación $\;\exists!\;$ se utiliza para "existe un único" (al igual que $\;\exists\;$ se utiliza para "existe algo").

Si su respuesta está autorizada a utilizar $\;\exists!\;$ entonces lo anterior le da la respuesta.

Si no es así, hay diferentes formas de escribir $\;\exists!\;$ en términos de $\;\exists\;$ y $\;\forall\;$ . La que más me gusta, que además resulta la fórmula más corta, se encuentra en otra respuesta mía .