Dejemos que $X$ sea un espacio lineal normado, $x\in X$ y $r>0$ . Definir la bola abierta y cerrada centrada en $x$ como $$ B(x, r) = \{y \in X : \Vert x y\Vert < r\} $$ $$ \overline{B}(x, r) = \{y \in X : \Vert x y\Vert \leq r\}. $$ Entonces $B(x, r)$ y $\overline{B}(x, r)$ son convexos.
He intentado demostrarlo, pero o bien mi cálculo es incorrecto, o bien estoy en el camino equivocado:
Mi objetivo es mostrar para el balón cerrado $\overline{B}(x,r)$ (para la bola abierta supongo que la prueba es similar). Supongamos que $y,z \in \overline{B}(x, r)$ . Entonces $\Vert x y\Vert \leq r$ y $\Vert x z\Vert \leq r$ . Debemos demostrar que $t \in [0,1]$ implica $ty + (1-t)z \in \overline{B}(x,r)$ . Pero $t \in [0,1]$ implica $$ \Vert ty + (1-t)z - x\Vert = \Vert t(y-z) + z - x\Vert \leq |t| \Vert y-z\Vert + \Vert z-x\Vert \leq |t|(\Vert y-x\Vert + \Vert x-z\Vert) + \Vert z-x\Vert < |t|(2r) + r = r(2|t| + 1), $$ que no es necesariamente $\leq r$ . Probablemente queríamos terminar con $< |t|r$ o $\leq |t|r$ como nuestra desigualdad final.
Gracias de antemano.
