¿Es cero un número primo?

Question

¿Es el cero un número primo?

Cuando se habla de números primos, parece que los ejemplos dados $(2,3,5,7,11,13,...)$ tienen la propiedad de que no tienen factores menores que ellos mismos y mayores que uno. Pero $0$ también tiene esta propiedad, ¿entonces es primo? Si no, ¿por qué no?

¿El cero es impar o par?

Cuando se habla de números pares, parece que los ejemplos dados $(2,4,6,8,...)$ tienen la propiedad de que, al dividirlos por $2,$ tienen un cociente distinto de cero y un resto cero; los números impares $(1,3,5,7,...)$ tienen un cociente distinto de cero y un resto de $1.$ Entonces, ¿el $0$ es impar? ¿par? ¿ni impar ni par?

¿El cero es un número?

He escuchado que todo número es o impar o par, pero si el $0$ no es ni impar ni par, ¿significa que ni siquiera es un número?

Answer 1

Si estás dispuesto a aceptar los enteros como números, entonces no deberías tener problemas considerando que $0$ es un número. Para aquellos dispuestos a definir los números pares como "múltiplos enteros de $2$", entonces también es claro que $0$ debería considerarse par. No quiero gastar mucho espacio aquí discutiendo nuevamente la paridad de $0$ ya que hay preguntas dedicadas a ese problema, pero afortunadamente eso hace que sea fácil dirigirte a la respuesta: ¿Es cero impar o par?

También encontré algunas discusiones más sobre la "cantidad de cero" que podrías encontrar útil: ¿Cuál es la parte difícil de cero?, ¿Por qué algunas personas dicen que 'Cero no es un número'?

La pregunta sobre si debería considerarse primo es más interesante.

¿Qué deberían ser los números primos?

Después de aprender sobre divisibilidad y factorización, surge esta idea de descomponer los números en partes más pequeñas (algo así como describir la materia con partes cada vez más pequeñas). La divisibilidad crea un orden parcial en los enteros no negativos. Esto simplemente significa que dado que $12=3\cdot 4$, las "partes más pequeñas" 3 y 4 dividen a 12, podemos registrar esto como $3\prec 12$ y $4\prec 12". Además, $2\prec 4$ porque $2$ divide a $4$, y así sucesivamente. Como $1$ divide a todo, diríamos que $1\prec n$ para cualquier entero no negativo $n$.

En física, estamos interesados en las cosas más pequeñas de las cuales está construido todo (los "átomos"!). La idea de los átomos tiene dos partes:

• deben ser todos "pequeños"
• deben construir todo lo demás

Bueno, no podemos dejar que $1$ sea algo así, porque sería la única cosa más pequeña, y además no se puede construir nada a partir de $1$ solo. Entonces, en cierto sentido, es demasiado simple.

Los siguientes mejores candidatos son aquellos elementos justo arriba de $1$. Lo que justo arriba significa se hace más claro si dibujas un gráfico:

Este es una especie de diagrama de Hasse para los enteros no negativos parcialmente ordenados por divisibilidad. Dado que el diagrama es infinito, no es realmente un diagrama de Hasse, y las líneas hacia cero realmente no vienen de ningún número, pero esto es bueno para nuestros propósitos.

Desde el diagrama puedes ver fácilmente que los números primos se encuentran en la primera fila arriba de $1$, y por lo tanto son "tan pequeños como sea posible" sin ser $1$, y además, todo lo que está encima de ellos (excepto cero) está construido a partir de varias combinaciones de números primos. La definición de números primos de la escuela primaria básicamente se reduce al hecho de que nada se encuentra entre $1$ y $p$ para cada primo.

Cero, paradójicamente, está realmente aislado y en ninguna parte cerca del resto de los números primos: al final no parece ser muy pequeño. Además, es bastante inútil para construir números ya que $0n=0$ para cualquier $n$.

Así que por razones como estas, $0$ no se considera un primo: no es un buen "átomo".

Answer 2

Cero no es un número primo según casi todas las definiciones de números primos:

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1. Los números primos son aquellos números naturales que son divisibles únicamente por la unidad ($1$) y por sí mismos. ¡$0$ es divisible por todos los números naturales! $5\cdot0=0,n\cdot0=0,\ldots$ (o no es divisible en absoluto si quieres excluir el cero de la definición de número (natural)).
2. Los números primos son la piedra angular de la aritmética desde su teorema fundamental: cada número natural (distinto de cero) tiene una representación única en números primos. $0$ solo se representa a sí mismo y esa representación no es única: $0=0^1=0^2=0^{12807}\cdot2^{9987}\cdot97^1\ldots$

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Cero es efectivamente par, ya que los números pares se definen como aquellos números divisibles por $2$, y $2\cdot0=0$, por lo tanto $0$ es divisible por $2. (A menos que quieras excluir el cero de la definición de número (natural))

Entonces, la pregunta final: ¿Es cero un número?

En la mayoría de conjuntos definidos como números: Enteros ($\mathbb Z$), Racionales ($\mathbb Q$), Reales ($\mathbb R$), Complejos ($\mathbb C$), entonces $0$ es un elemento importante. No se puede excluir de la definición de número en esos conjuntos.

La pregunta es acerca de los números naturales ($\mathbb N$), y se puede construir una teoría de números con $0$ como parte de los números naturales y sin $0$ como parte de los números naturales. Me gusta incluir $0$ como número natural ya que parece resolver algunos problemas más fácilmente que excluirlo, aunque añade algunas complejidades.

Nota que en las definiciones de "número primo" es mejor excluir explícitamente a $0$, ya que cero no tiene propósito en el teorema fundamental de la aritmética, toda aritmética basada en ese teorema se puede hacer en el conjunto $\mathbb N\setminus\{0\}$ (esto son los números naturales excluyendo explícitamente al cero).

Escribamos el teorema fundamental de la aritmética si $0\notin\mathbb N$ (entonces, por número nos referimos a cualquier número natural excepto 0)

TFA sin cero

Cada número $n$ tiene una representación única en números primos $n=p_1^{k_1}\cdot p_2^{k_2}\cdots p_i^{k_i}$ (para un conjunto fini de primos $p_j$).

Y formulémoslo para $0\in\mathbb N$

TFA con cero

Cada número $n$ (con $n\ne0$) tiene una representación única en números primos $n=p_1^{k_1}\cdot p_2^{k_2}\cdots p_j^{k_j}\cdots$ (donde $p_j$ es el $j$th número primo (y $k_j$ puede ser $0$)).

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En la primera formulación no podemos tener $0$ como exponente, por lo que eliminamos todos los primos que no dividan a $n. Simplemente no los incluiremos en la formulación. En la segunda formulación debemos excluir $0$ de cada número, pero, por otro lado, podemos incluir todos los números primos y si $p_j$ no divide a $n$, entonces establecemos el exponente $k_j=0$.

Answer 3

A: No.

A: Incluso.

A: Sí.

• Debido a los axiomas de Peano.

Answer 4

Por definición, un número primo es un entero no nulo ni unidad $p$ tal que para cualquier entero $m,n$, si $mn$ es un múltiplo de $p$, entonces $m$ o $n$ es un múltiplo de $p. Aparte de la condición de no ser nulo, encaja perfectamente.

Es par, ya que es un múltiplo de $2$ (ya que es un múltiplo de cada número).

Es un número (real/complexo/entero).

Answer 5

P. ¿Es cero un número primo?

No; pero, esto es básicamente solo por convención. Aquí está la razón.

Primero, definamos

$$\mathbb{N} = \{0,1,2,3,\ldots\}$$

de modo que en particular, $0$ es un número natural.

Charla preliminar. Un número primo podría definirse como un número natural $p$ que cumple las siguientes dos condiciones:

$$(0) \;\;\mathop{\forall}_{a,b \in \mathbb{N}}\;\;\;p \mid ab \rightarrow (p \mid a) \vee (p \mid b), \qquad (1) \;\;p \mid 1 \rightarrow \mathrm{FALSE}$$

Observa que $\mathrm{FALSE}$ es el elemento identidad con respecto a O lógico, lo que explica en cierta medida de dónde proviene la condición (1).

Si aceptamos esta definición, entonces $0$ es primo, pero $1$ no lo es.

Las convenciones habituales. A pesar de la discusión anterior, generalmente declaramos que $0$ no es primo. Hay un par de razones para esto:

1. Queremos que cada número natural distinto de cero tenga una factorización única en primos.
2. Queremos que los primos sean precisamente esos elementos de $\mathbb{N}$ que cubren 1 con respecto al orden de divisibilidad.
3. Queremos que los primos formen un anticadena con respecto a la divisibilidad.

Así que la definición de "$p$ es primo" se convierte en:

$$(0) \;\;\mathop{\forall}_{a,b \in \mathbb{N}}\;\;\;p \mid ab \rightarrow (p \mid a) \vee (p \mid b), \qquad (1) \;\;p \mid 1 \rightarrow \mathrm{FALSE}, \qquad (2)\;\; p = 0 \rightarrow \mathrm{FALSE}$$

Bajo estas convenciones, $0$ no es primo.

Por qué algunos días no estoy de acuerdo con la convención de que $0$ no es primo.

Por un monoide conmutativo con $0$, me refiero a un monoide conmutativo $M$ junto con un elemento $0 \in M$ que satisface $0a = 0$ y $a0 = 0$.

La forma en la que me gusta pensar en el conjunto $P$ de números primos es la siguiente: $P$ es el subconjunto único de $\mathbb{N}$ tal que si $F(P)$ es el monoide conmutativo con $0$ generado libremente por $P$, entonces el homomorfismo obvio de monoide-con-0 $$F(P) \rightarrow \mathbb{N}$$ es un isomorfismo.

Bajo esta definición, $0 \in P

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