Primas gemelas más altas tales que el número entre las gemelas es el $\text{lcm}$ de la primera $N$ números

Question

$\text{lcm}(1,2,3,4,5,6,7) = 420$ y este número se sitúa entre dos primos gemelos: $419,\ 421$ . Esto ocurre de nuevo para $\text{lcm}(1,2,3...19) = 232792560$ y $\text{lcm}(1,2,3,4,...,47)=442720643463713815200$ que se coloca entre los 2 primos gemelos: $$442720643463713815199 \\ 442720643463713815201$$ Sin embargo no vuelve a ocurrir hasta donde pude llegar sobre $\text{lcm}(1,2,3..., 44983).$

Es $N=47$ el mayor número tal que $\text{lcm}(1,2,3,...,N)$ se coloca entre dos primos gemelos?

Me parece que esta enorme diferencia entre el 47 y, al menos, el 44983, es muy poco intuitiva. Podría haber una buena razón para ello.

Lista completa : $$\text{lcm}(1,2,3) = 6 \text{ Twin primes: 5 7}$$ $$\text{lcm}(1,2,3,4) = 12 \text{ Twin primes: 11 13}$$ $$\text{lcm}(1,2,3,4,5) = 60 \text{ Twin primes: 59 61}$$ $$\text{lcm}(1,2,3,4,5,6) = 60 \text{ Twin primes: 59 61}$$ $$\text{lcm}(1,2,3,4,5,6,7) = 420 \text{ Twin primes: 419 421}$$ $$\text{lcm}(1,2,3,...,19) = 232792560 \text{ Twin primes: 232792559 232792561}$$

(entonces 47 ya mencionado anteriormente)

También añado un código muy sencillo en python, usando la librería sympy, para que todo el mundo pueda comprobarlo.

    from sympy import *

    lcmi=2
    for i in range(3,100000):
        print "Evaluating lcm of first", i, "numbers" 
        ni= lcm(lcmi,i)
        if ni != lcmi:
         if isprime(ni-1) and isprime(ni+1):
            print i,"lcm:", ni,"Twin primes:", ni-1, ni+1
         lcmi=ni

Answer 1

Escribe $a_n := \operatorname{lcm}(1, 2, \ldots, n)$ .

Cuando se mira a $n=7$ estás considerando el par $420\pm 1$ . La forma de estos números excluye los factores primos 2, 3, 5 y 7, y $\sqrt{420} \approx 20.5$ por lo que los únicos factores primos potenciales que quedan son 11, 13, 17 y 19.

Por otro lado, cuando estás mirando, digamos, $n = 9$ , estás considerando $2520\pm 1$ y $\sqrt{2520} \approx 50.2$ . La forma de estos números sigue excluyendo sólo a 2, 3, 5 y 7 como factores primos, pero ahora además de 11, 13, 17 y 19 hay que preocuparse por 23, 27, 29, 31, 37, 41, 43 y 47.

Ahora $a_n = e^{n + o(n)}$ (ver Función de Chebyshev ), por lo que el número de primos menores que $\sqrt{a_n}$ crece más rápido que el lineal en $n$ mientras que el número de primos menores que $n$ (es decir, el número de primos excluidos como factores de $a_n \pm 1$ ) crece más lentamente que de forma lineal.

En consecuencia, si nos guiamos sólo por esto, esperaríamos exactamente el tipo de comportamiento que se ve aquí: verdadero para todo lo suficientemente pequeño $n$ y luego, esporádicamente, es cierto para algunos números más grandes si las piezas caen en su lugar.

Por supuesto que eso no probar nada, pero nos dice que la evidencia numérica aquí no apunta a nada inusual, y por lo tanto probablemente no nos da ninguna ayuda para tratar de probar o refutar que hay infinitamente muchos $n$ para lo cual $a_n \pm 1$ son relativamente primos.