El grupo de elementos invertibles hace un grupo multiplicativo

Question

Trabajando con un anillo no trivial con unidad, el conjunto S de todos los elementos invertibles de un anillo es un grupo multiplicativo.

Así que esto es decir que los elementos invertibles (o unidades) forman un grupo que es cerrado bajo la multiplicación. Entonces, ¿debo suponer que tengo algunos elementos invertibles de mi anillo y demostrar que son iguales a 1? ¿Y luego multiplicar los elementos para demostrar que el grupo es cerrado?

Dejemos que $a,b \in R$ , donde $R$ es un anillo no trivial. $a$ y $b$ son invertibles, por lo que para algunos $c$ , $a\cdot c = c\cdot a =1$ y $b\cdot c =c\cdot b =1$ . Así que $(a\cdot c) \cdot (b\cdot c) = 1\cdot 1 = 1$ así $R$ ¿está cerrado?

Answer 1

El anillo es cerrado bajo la multiplicación.

El conjunto de unidades es el conjunto de TODOS los elementos con inversos multiplicativos.

El producto de dos unidades cualesquiera tiene una inversa, es decir $(ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}$

Como el conjunto de unidades es contiene todos los elementos con inversos $ab$ y $(ab)^{-1}$ debe estar en el conjunto de unidades.