He leído en algunos libros que todas las zonas de Brillouin tienen el mismo volumen, y puedo ver vagamente cómo funciona, pero no he sido capaz de pensar en una prueba formal.
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heathrow
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Una zona de Brillouin se define como el rango de k's que representa un estado de pseudomentum único de una partícula en el cristal. Si se cuenta el número total de estados en la zona de Brillouin, se hace una integral sobre k:
$$ \int {d^dk\over (2\pi)^d} = {V\over (2\pi)^d} $$
Donde V es igual al volumen total en el espacio del momento. Esto es igual a la dimensión del espacio de Hilbert, por lo que es independiente de cómo se defina la zona. Otra forma de decir esto es que si tienes un gran cristal de volumen V, la dimensión del espacio de Hilbert es $N= V/v$ donde V es el volumen total del cristal y v es el volumen de una celda unitaria, y en el espacio de Fourier, se obtiene un entramado dual de estados de momento discretos equidistribuidos, con un número total de k estados en cualquier zona de Brillouin igual a N. En el límite $V\rightarrow\infty$ El número total de estados es proporcional al volumen de la zona, por lo que debe ser el mismo independientemente de cómo se divida.
No sé lo formal que quieres, pero uno puede ponerse tan formal como quiera.
Tammy
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31
Podemos definir un mapa biyectivo entre la primera y la enésima zona de Brillouin. Por lo tanto, las regiones son de igual volumen. Primero, algo de notación:
Dejemos que $\vec{k}\in\mathbb{R}^{3}$ . Llamaré
$\vec{G}_j(\vec{k})$ = j-ésimo vector recíproco de la red más cercano a $\vec{k}$ .
La enésima zona de Brillouin, $\Gamma^{*}_n$ es el conjunto de puntos en $\mathbb{R}^3$ que tienen el origen como su enésimo punto más cercano en $\Lambda^{*}$ , el entramado recíproco. Es decir,
$$\Gamma^{*}_n\equiv\{\vec{k} \in \mathbb{R}^{3}: \vec{G}_n(\vec{k}) = \vec{0}\}$$
Por último, denotamos
$$\Gamma^{*}_n(\vec{G}_j = \vec{q})\equiv\{\vec{k} \in \Gamma^{*}_n: \vec{G}_j(\vec{k}) = \vec{q}\}$$ .
Ahora, a la biyección. La colección de conjuntos $\Gamma_{n}^{*}(\vec{G}_1 = \vec{q})$ para $\vec{q} \in \Lambda^{*}$ forman una partición para $\Gamma_n^{*}$ Así que $\forall \vec{k} \in \Gamma_n^{*}$ hay un único $\vec{q} \in \Lambda^{*}$ para lo cual $\vec{k} \in\Gamma_{n}^{*}(\vec{G}_1 = \vec{q})$ . Este $\vec{q}$ es el único vector recíproco de la red más cercano a $\vec{k}$ .
Dada una $\vec{k}$ y su correspondiente $\vec{q}$ la función
$$f(\vec{k}) = \vec{k} - \vec{q}$$
mapas $\Gamma_{n}^{*}(\vec{G}_1 = \vec{q}) \rightarrow \Gamma_{1}^{*}(\vec{G}_n = \vec{-q})$ . Esto se debe a que, debido a la invariabilidad traslacional de $\Lambda^{*}$
$$ \vec{G}_1(\vec{k} - \vec{q}) = \vec{G}_1(\vec{k}) - \vec{q} = \vec{q} - \vec{q} = \vec{0} $$
y
$$ \vec{G}_{n}(\vec{k} - \vec{q}) = \vec{G}_n(\vec{k}) - \vec{q} = \vec{0} - \vec{q} = -\vec{q} $$
De ello se deduce que $f(\vec{k}) \in \Gamma_{1}^{*}(\vec{G}_n = \vec{-q})$ .
$f(\vec{k})$ es inyectiva. Podemos demostrarlo mediante
$$f(\vec{k}_1) = f(\vec{k}_2) \Rightarrow \vec{k}_1 - \vec{q}_1 = \vec{k}_2 - \vec{q}_2$$
Pero también tenemos $f(\vec{k}_1)\in \Gamma_{1}^{*}(\vec{G}_n = -\vec{q}_1)$ y $f(\vec{k}_2)\in \Gamma_{1}^{*}(\vec{G}_n = -\vec{q}_2)$ así que $f(\vec{k}_1) = f(\vec{k}_2) \Rightarrow \vec{q}_1 = \vec{q}_2 \Rightarrow \vec{k}_1 = \vec{k}_2$
$f(\vec{k})$ es suryente. Podemos demostrarlo suponiendo que $\vec{k} \in \Gamma_{1}^{*}(\vec{G}_n = -\vec{q})$ . Una vez más, debido a la invariabilidad traslacional de $\Lambda^{*}$ ,
$$\vec{G}_n(\vec{k} + \vec{q}) = \vec{0}$$
y
$$\vec{G}_1(\vec{k} + \vec{q}) = \vec{q}$$ por lo que podemos concluir que para cada $\vec{k} \in \Gamma_{1}^{*}(\vec{G}_n = -\vec{q})$ hay un $\vec{k} + \vec{q} \in \Gamma_{n}^{*}(\vec{G}_1 = \vec{q})$ tal que $f(\vec{k} + \vec{q}) = \vec{k}$ .
$f$ suryectiva y $f$ inyectiva $\equiv f$ biyectiva. QED.
