Es $2^\omega=2^{\omega_1}$ en consonancia con $\text{cf}(2^\omega)>\omega$ ?

Question

Sé que $2^\omega=2^{\omega_1}$ es consistente con ZFC.

Esto requiere $2^\omega>\omega_1$ pero, por supuesto, esto no implica necesariamente que $\text{cf}(2^\omega)>\omega$ .

Pregunta. Es $2^\omega=2^{\omega_1}$ en consonancia con $\text{cf}(2^\omega)>\omega$ ?

No veo ninguna razón para que no lo sea.

PS. Quiero una simple respuesta de SÍ o NO... ¡sin argumentos técnicos!

Answer 1

En realidad, $2^\omega$ siempre tiene una cofinalidad incontable No sólo es posible, sino que también es posible. necesario . De la misma manera, $2^{\omega_1}$ siempre tiene cofinalidad $>\omega_1$ Así que si $2^{\omega}=2^{\omega_1}$ entonces este cardinal tiene cofinalidad $>\omega_1$ .

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De manera más general, si hacemos $2^\omega=2^\kappa$ para un gran cardenal regular $\kappa$ entonces $2^\omega$ tiene una cofinalidad de al menos $\kappa^+$ y además $2^\omega=2^\mu$ para todos $\mu<\kappa$ . Y esto es posible mediante (un caso especial fácil de) Teorema de Easton . En general, si tiene alguna duda sobre si un determinado fenómeno relativo a la función del continuo es posible, consulte siempre a Easton.

Por cierto, $2^\omega=2^{\omega_1}$ no es una suposición demasiado antinatural - por ejemplo, es una consecuencia de el axioma del forzamiento adecuado .