Tabla de caracteres de $GL_{2}(3)$

Question

Esta es una pregunta que nos han dado como pregunta de examen de práctica. Nos dan la siguiente tabla de caracteres (que es GL_{2}(3), pero no podemos utilizar el hecho de saber de qué grupo se trata en la pregunta):

Tenemos las siguientes preguntas:

1) Buscar $|G|$ y $|C_{G}(x)|$ para $x=a,b,c,d,e,f,g$ .

2) Encuentra todos los subgrupos normales de $G$ .

3) Buscar $o(x)$ para $x=a,b,c,d,e,f,g$ .

Para 1), es fácil ver que $|G| = 48$ . También podemos calcular fácilmente el tamaño de los centralizadores. Conseguimos que sean $48,4,6,8,6,8,8$ para $a,b,c,d,e,f,g$ respectivamente

para 2, soy consciente de que un subgrupo normal $N = \text{ker}(\chi) = \{ g \in G : \chi (g) = \chi(1) \}$ . Usando esto, creo que tenemos los siguientes subgrupos normales:

$N_{1} = \{1,a,c,d,e\}, N_{2} = \{1,a,d\}, N_{3} = \{1, a \}.$

Para la 3), estoy bastante confundido. En primer lugar, por el teorema de Cauchy, lo más seguro es que tengamos un elemento de orden 2 y otro de orden 3 en el grupo. Además, como $o(x) | |C_{G}(x)|$ Sabemos que $b,d,f,g$ serán potencias de $2$ . Como debemos tener un elemento de orden $3$ en el grupo, esto podría ser $a,c$ o $e$ . A partir de aquí, no sé cómo utilizar esta información para conseguir lo que necesito. Cualquier ayuda se agradecería.

Answer 1

Esta es sólo una respuesta parcial, pero quizás sea útil.

El hecho de que exista un único elemento en la clase de conjugación de $a$ dice que todo elemento conmuta con $a$ es decir, $a$ es central. Y por la misma razón, ningún otro elemento es central. Así que tenemos que el centro del grupo está formado por 1 y $a$ . Esto significa obviamente $a$ es de orden 2.

El subgrupo formado por 1, el elemento $a$ y los elementos de $d$ es de tamaño 8, y todos sus elementos, excepto 1 y $a$ son conjugados en $G$ . En particular, todos tienen el mismo orden, y ese orden divide a 8. Mirando la clasificación de los grupos de orden 8, vemos que se trata del grupo de cuaterniones o de un grupo abeliano elemental de 2.

Pero $\chi_4$ define una dimensión 2 de este grupo, y podemos ver que es irreducible, por lo que el grupo no debe ser abeliano. Por tanto, es el grupo de los cuaterniones, y los elementos de $d$ tienen la orden 4.