Supongamos que $P(X) = \int_{-\infty}^{\infty} 1_X(x) f(x) \,dx $ para $f(x) \geq 0 $ para todos $x$ tal que $\int_{- \infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1 $ . Supongamos que $A = \{ x_0 \} $ . Entonces $A$ es un conjunto de Borel y $P(A) = 0 $ .
Intento
Por definición, sé que si $\mathcal{F}$ es la colección de todos los conjuntos cerrados, entonces el álgebra sigma de Borel es el álgebra sigma más pequeña que contiene $\mathcal{F} $ , denotado por $\mathcal{B}( \mathcal{F} ) $ . Sabemos que los singletons son conjuntos cerrados, por lo tanto $A = \{ x_0 \} \in \mathcal{F} \subset \mathcal{B} ( \mathcal{F} ) $ y así $A$ es un conjunto de borlas. ¿Es este un argumento correcto?
A continuación, para demostrar que $P(A) = 0$ Aviso $1_A(x)f(x) = f $ si $x = x_0$ y $0$ de lo contrario, por lo tanto $$ \int_{- \infty}^{\infty} 1_A(x) f(x) \,dx = \int_{x_0}^{x_0} f(x) = 0. $$
¿Es esto suficiente?
