¿Cómo puedo calcular el valor propio de la siguiente matriz?

Question

Tengo una matriz $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ tal que sus elementos sean todos valores no negativos.

Sé que para cualquier $k$ , $A^k$ tiene elementos en la diagonal que son menores o iguales a 1.

¿Puedo demostrar que el mayor valor propio de $A$ es menor que 1? Estoy bastante seguro de que eso es cierto, pero no estoy completamente seguro.

Answer 1

El mayor valor propio podría ser igual a $1$ (por ejemplo, si $A$ es triangular superior con al menos un $1$ en la diagonal). Podría ser complejo con valor absoluto $1$ (por ejemplo, para una matriz de permutación). Pero no puede ser mayor que $1$ en valor absoluto. Esto se deduce del teorema de Perron-Frobenius. En primer lugar, sustituyendo $A$ por $A^p$ si es necesario, podemos asumir $A$ es aperiódico. A continuación, supongamos $A$ es irreducible (si no, mira cada componente irreducible por separado). Si $\lambda$ es el valor propio de Perron, hay vectores positivos $u$ y $v$ tal que $A^n - \lambda^n u v^T = o(\lambda^n)$ . En particular, si $\lambda > 1$ cada entrada de $A^n$ va a $+\infty$ como $n \to \infty$ .