¿qué significa que un subconjunto de grafos se construya a partir del conjunto de potencias de los vértices de un grafo?

Question

Definición: El gráfico de subconjuntos de un conjunto $S$ se construye de la siguiente manera. El conjunto de vértices es el conjunto de potencias $2^S$ y dos vértices $X,Y \in 2^S$ son adyacentes si tienen una intersección no trivial, es decir $X\cap Y$ no está vacío.

No estoy seguro de lo que esto significa. Conceptualmente, ¿cómo se pueden construir vértices de subgrafos a partir del conjunto de potencias, a menos que esta definición pretenda introducir una nueva idea?

Answer 1

Este es un ejemplo para $S=\{1,2,3\}$ . Hay $8=2^3$ vértices, etiquetados con todos los posibles subconjuntos de $\{1,2,3\}$ . Si dos subconjuntos tienen un elemento en común, existe una arista entre los vértices con esas etiquetas. En particular, esto significa que los vértices $\{\}$ es adyacente a nada, pero $\{1,2,3\}$ es adyacente a todo excepto a $\{\}$ .

(Normalmente escribiría $\varnothing$ en lugar de $\{\}$ (pero el software con el que hice la imagen no pudo con ello)

Answer 2

La intuición es la siguiente. Utilizando algún conjunto $S$ creamos un gráfico que muestra los subconjuntos de este conjunto $S$ . Para cualquier subconjunto posible de $S$ creamos un vértice en este grafo, y conectamos dos vértices sólo si tienen al menos un elemento en común.

Ejemplo para el conjunto $S = \{1,2\}$ :

(1,2) ----- (1)
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  |
 (2)        ()