¿existe una solución para el siguiente conjunto de ecuaciones?

Question

Dejemos que $x_i,\ldots,x_n$ y $y_{i,j}$ donde $1 \le i \le n$ y $1 \le j \le L$ sea un conjunto de variables en las siguientes ecuaciones (e inecuaciones):

$\sum_{i=1}^n x_i y_{i,l} = c_l$ para $1 \le l \le L$

$\sum_{i=1}^n x_i = 1$

$\sum_{i=1}^n y_{i,l} = 1$ para $1 \le l \le L$

$x_i \ge 0, y_{i,l} \ge 0$ para todos $1 \le i \le n$ y $1 \le l \le L$

donde $c_l$ son constantes no negativas.

¿Existe una solución para estas ecuaciones si $L$ ¿es lo suficientemente grande? ¿Es la solución única, y hay una forma analítica/algoritmo para encontrarla?

Gracias.

(He tenido problemas para encontrar la categoría adecuada para esta pregunta. Quería ponerla como "álgebra" o "ecuaciones" pero ninguna de las dos existe como la solicitud es para algo relacionado con la probabilidad, decidí usar "probabilidad").

Answer 1

En el caso $n=1$ es fácil construir instancias irresolubles para cualquier $L$ . Obtenemos $x_1=1$ por necesidad, y por tanto $y_{1,l}=c_l$ pero estos $y$ pueden no sumar a $1$ .

Sin embargo, en general, tiene $2L+1$ ecuaciones polinómicas en $n(L+1)$ incógnitas, por lo que para $n\ge 2$ si hay una solución, no será única (excepto posiblemente en casos degenerados).

Answer 2

Tenga en cuenta que, a menos que $0 \le c_l \le 1$ por cada $1\le l\le L$ entonces no habrá solución ya que cada $x_i\le 1$ Así que $x_iy_{i,l}\le y_{i,l}$ y así $\sum_i x_iy_{i,l}\le \sum_i y_{i,l}$ . Si $n\ge 2$ y todos los $c_l$ están al alcance es fácil crear una solución dejando que $x_1=1$ , todos los demás $x_i=0$ y $y_{1,l}=c_l$ y el otro $y_{i,l}$ elegido arbitrariamente para satisfacer la $\sum y_{i,l} = 1$ restricción. Las soluciones serán obviamente no únicas si $n\ge 3$ . Si $n=2$ podemos crear otra solución intercambiando $i=1$ y $i=2$ .

Answer 3

Considere la $x_i$ como formando un $n$ -vector de filas de componentes $x^T$ y $y_{ij}$ formando un $n \times L$ matriz $Y$ . Sea $e$ sea el $n$ -componente vectorial de todos los 1's. Para cualquier $x^T$ con todos $x_i \ge 0$ y $x^T e = 1$ El $j$ La columna de $Y$ debe ser un vector $v \ge 0$ tal que $x^T v = c_j$ y $e^T v = 1$ . Obsérvese que el conjunto de $x^T \ge 0$ con $x^T e = 1$ es el simplex con puntos extremos los vectores unitarios $u_i^T$ que consiste en un único 1 y todas las demás entradas 0. El producto punto de dos miembros del simplex puede ser cualquier cosa en $[0,1]$ . Así que para obtener cualquier solución se necesita $0 \le c_j \le 1$ para todos $j$ . Además, teniendo en cuenta cualquier $c$ se obtienen soluciones para cualquier $k$ con $x^T = u_k^T$ y $y_{kj} = c_j$ para todos $j$ . Si algunos $c_j = 1$ , $x^T$ debe ser uno de los $u_k^T$ . Si todos los $ c_j < 1$ Hay infinitas posibilidades de $x^T$ .