¿Qué significa geométricamente una resolución proyectiva?

Question

Para R un anillo conmutativo y M un módulo R, siempre podemos encontrar una resolución proyectiva de M que sustituya a M por una secuencia de módulos R proyectivos. Pero como R es conmutativo, podemos considerar la variedad afín X=Spec R y el haz de módulos asociado a M. ¿Qué hace la resolución proyectiva geométricamente a este haz?

Los proyectivos son gavillas localmente libres, por lo que si M no es proyectivo entonces debe tener algún tipo de "torsión aguda" o "pellizco". De alguna manera, una resolución proyectiva está "desempujando" a M. Geométricamente, ¿es éste el mismo "desempujamiento" que ocurre en una resolución de una singularidad de una variedad? ¿Existe algún ejemplo en dimensiones bajas en el que se pueda dibujar esto para los módulos?

Answer 1

Creo que esta importante pregunta merece una respuesta más, incluso después de todas las excelentes que ya se han dado.

Se puede pensar en una resolución libre como una "aproximación del módulo por el anillo". Esta tautología tiene algunos corolarios:

Si quieres que las resoluciones revelen propiedades geométricas, necesitas que el anillo sea bonito para empezar. Los ejemplos de esto se han explicado en todas las demás respuestas. De hecho, se obtiene la mayor información si el anillo es "suave" (anillos regulares locales o polinómicos).

Dando la vuelta al argumento, esto significa que "módulo bueno + anillo malo = resolución mala". Por ejemplo, dejemos que $M$ sea un campo $k$ visto como un módulo sobre el anillo $R =k[x,y]/(x^2,xy)$ . Entonces, una resolución de $M$ es siempre malo, las filas de los módulos libres aumentarán exponencialmente, y ninguna información agradable sobre $M$ se puede aprender de esos números. De hecho, la información ahora fluye el otro camino te dice cómo mala $R$ es. Por ejemplo, se deduce que $R$ no puede ser una intersección completa, porque si lo fuera, un resultado de Eisenbud implica que los números de Betti habrían tenido un crecimiento polinómico.

Answer 2

¡Ah, gran pregunta!

No soy un gran experto, pero una cosa que obviamente hace es construir la gavilla M a partir de los haces localmente libres (localmente libres = proyectivos). Por ejemplo, considere una gavilla de rascacielos en una línea. No es un haz, pero se puede representar con sólo dos haces y una multiplicación del mapa por x .

Así que, formalmente, estás pidiendo una construcción por haces localmente libres y morfismos entre ellos de tu complejo dado en la categoría derivada de gavillas coherentes. ¿Cómo lo harías? Bueno, encuentras un haz que concida con tu gajo en un subconjunto abierto, luego lo extiendes desde ese subconjunto de una manera especial, creo, obteniendo un gajo perverso. Entonces reduces tu problema al colector de dimensión uno menos, y así sucesivamente.

Así que lo que tienes es una prueba de algún teorema de la forma "todo elemento de categoría derivada puede estar hecho de gavillas perversas". Creo que aquí tenemos la correspondencia Riemann-Hilbert.

Agradeceré que alguna persona más informada pueda suplir las omisiones.