¿Qué significa geométricamente una resolución proyectiva?

Question

Para R un anillo conmutativo y M un módulo R, siempre podemos encontrar una resolución proyectiva de M que sustituya a M por una secuencia de módulos R proyectivos. Pero como R es conmutativo, podemos considerar la variedad afín X=Spec R y el haz de módulos asociado a M. ¿Qué hace la resolución proyectiva geométricamente a este haz?

Los proyectivos son gavillas localmente libres, por lo que si M no es proyectivo entonces debe tener algún tipo de "torsión aguda" o "pellizco". De alguna manera, una resolución proyectiva está "desempujando" a M. Geométricamente, ¿es éste el mismo "desempujamiento" que ocurre en una resolución de una singularidad de una variedad? ¿Existe algún ejemplo en dimensiones bajas en el que se pueda dibujar esto para los módulos?

Answer 1

si M no es proyectiva entonces debe tener algún tipo de "torsión aguda" o "pellizco".

Esto no es del todo correcto. Estás confundiendo "proyectivo/libre" con "suave". Por ejemplo, M podría ser un anillo cociente R/J, correspondiente a una subvariedad de X = Spec R, cuya subvariedad bien podría ser suave, aunque R/J nunca será proyectivo (excepto en casos aburridos).

De hecho, desde este punto de vista, los módulos de la resolución libre no puede tienen nada que ver con la geometría de M, ya que esos módulos libres son sólo copias de todo el espacio. No pueden llevar ninguna información geométrica. Los mapas en la resolución libre, en cambio, llevan todo tipo de información geométrica (función de Hilbert, regularidad, etc.).

El uso excesivo de la palabra "resolución" podría ser el culpable aquí. Las resoluciones libres (resp inyectivas, planas, flasqueantes,...) realmente no tienen nada que ver con las resoluciones de singularidades.

Answer 2

Cabe destacar que la proyectiva $\mathcal O_X$ -módulos rara vez existen en cuanto se sale del mundo afín. Por ejemplo $\mathcal O_{\mathbb P^1_{\mathbb C}}$ no es proyectiva, ni siquiera la imagen sobreyectiva de una proyectiva.

Pero has preguntado por un esquema afín, así que estamos bien, pero quizás entonces podamos limitarnos a las resoluciones libres.

Quizás la razón más obvia responsable de que un módulo no esté libre es la torsión y quizás se pueda tener una intuición geométrica sobre ellas.

La intuición geométrica sobre la torsión es que se apoya en un subesquema propio (es decir, no en todo), algo así como la gavilla de estructura de un subesquema, o varias copias $\oplus$ -ed juntos, o hacer esto para varios subesquemas y combinarlos. Sin embargo, las resoluciones consisten en sustituir unas secciones por otras y, en el caso de las torsiones, elevarlas al esquema ambiente. Puede que sólo sea posible hacerlo localmente, pero para eso tenemos las gavillas. Por ejemplo, para la gavilla de estructura de un subesquema, el primer paso natural es elevar las secciones a la gavilla de estructura y continuar con la gavilla ideal.

Las gavillas ideales no suelen ser libres, pero por diferentes razones. Si el esquema ambiental es reducido e irreducible, entonces las láminas ideales son libres de torsión, pero eso no significa que sean libres en general. Por ejemplo, la gavilla ideal de un subesquema de codimensión al menos $2$ necesita al menos dos generadores a lo largo del subesquema que define, pero es isomorfo a la gavilla de estructura en todas las demás partes, por lo que en particular su rango es 1. La resolución más significativa de una gavilla ideal es básicamente tomar tantos elementos libres como el número mínimo de generadores necesarios para el punto que más necesita. En otras palabras, el primer paso de la resolución de una gavilla ideal es sobre cuántas funciones pueden definir el subesquema correspondiente. Luego el siguiente es sobre las relaciones entre estas funciones y así sucesivamente.

Diría que está claro que cuanto más se avanza en la resolución, más difícil debe ser dar sentido al siguiente paso. Así que, tal vez, lo mejor sea pensar en ello de forma recursiva; cada nueva sizigia es la primera sizigia de la anterior. Así podríamos tener una vaga comprensión. Y la buena noticia es que, mientras la dimensión proyectiva de nuestro módulo sea finita, estas gavillas se irán haciendo cada vez más bonitas hasta que una de ellas sea ya libre.

Answer 3

Me gustaría ampliar las respuestas de Graham y de los anónimos. Hay muchas maneras de utilizar una resolución libre para obtener información geométrica interesante, pero yo lo veo de una manera bastante diferente a la "desenroscada" sugerida en tu pregunta. Esto es más fácil de discutir en el caso de que estés estudiando un esquema proyectivo $X\subseteq \mathbb P^n$ . Sea $S_X$ sea el anillo de coordenadas homogéneo $S_X$ de $X$ , considerado como un grado $k[x_0, \dots, x_n]$ -módulo. Entonces, se puede definir la resolución libre mínima de $S_X$ :

$ 0\to F_{n+1}\to \dots \to F_1\to F_0\to S_X \to 0 $

donde cada $F_i$ es un módulo libre y graduado sobre el anillo de polinomios.

Como señala Graham, los mapas de la resolución libre llevan una tonelada de información. Pero como estamos en el caso graduado, aunque te olvides de los mapas, sigues obteniendo mucha información. Por ejemplo, si sólo se conocen los rangos graduados de cada $F_i$ entonces se puede recuperar la función de Hilbert de $X$ así como otros invariantes numéricos interesantes: Polinomio de Hilbert, regularidad de Castelnuovo-Mumford, profundidad. También se puede determinar si $S_X$ es un anillo de Cohen-Macaulay o Gorenstein, simplemente a partir de los rangos graduados del $F_i$ .

Todas estas son aplicaciones sencillas, pero también hay una gran cantidad de literatura sobre cómo extraer información geométrica más sutil sobre $X$ de las filas de la $F_i$ . Este es esencialmente el enfoque de "The Geometry of Syzygies" de Eisenbud, y ese libro está lleno de ejemplos sorprendentes.

Creo que un ejemplo puede ser bastante ilustrativo, así que sacaré el teorema 2.8 del libro de Eisenbud. Esto dice que si $X$ es la unión de $7$ puntos en posición lineal general en $\mathbb P^3$ entonces estos $7$ puntos se encuentran en una curva cúbica retorcida si y sólo si $\text{rank}(F_1)>4$ . En otras palabras: en este caso, el rango de $F_1$ mide una sutil propiedad geométrica del $7$ puntos (es decir, si se encuentran o no en una cúbica torcida).

Answer 4

Me gustaría dar un toque a "La geometría de las sibilas" de Eisenbud. Puede que la introducción te resulte útil. Está disponible en línea a través de google books.

Answer 5

Esto es más un comentario que una respuesta.

Una aplicación importante de la resolución proyectiva/localmente libre es el cálculo de los números de intersección. Sea $X$ sea una variedad proyectiva suave sobre un campo $k$ y $Z_1,Z_2$ subesquemas de $X$ de dimensión complementaria. Sea $L^*$ sea una resolución localmente libre de $\mathcal{O}_{Z_1}$ entonces el número de intersección $(Z_1 . Z_2)$ es igual a $\chi(X,L^* \otimes \mathcal{O}_{Z_2})$ (fórmula de Serre).

Mientras que el significado geométrico de $(Z_1 . Z_2)$ es clara (al menos sobre los números complejos): tomar una perturbación topológica genérica y contar las intersecciones transversales con la orientación; la interpretación de $\chi(X,L^* \otimes \mathcal{O}_{Z_2})$ es menos.

De alguna manera intercambiamos la gavilla de torsión $\mathcal{O}_{Z_1}$ para el objeto más "global" $L^*$ (con $Supp(L^i)=X$ ). Sin duda, necesitamos información global sobre $X$ para calcular la intersección, ya que las perturbaciones genéricas tienen lugar en $X$ .

Tenga en cuenta que si $Z_1 \sim Z_1'$ es una perturbación genérica algebraica, tal que $Z_1' \cap Z_2$ es transversal (y de dimensión cero), entonces $\chi(Z_1' \otimes Z_2)=h^0(Z_1' \otimes Z_2)=(Z_1 . Z_2)$ . Por tanto, existe una analogía formal entre $L^*$ y una perturbación genérica de $Z_1$ .

Adenda: Existe otro vínculo entre las deformaciones de $Z_1$ y resoluciones de $\mathcal{O}_{Z_1}$ : Si se estudian las deformaciones locales de $Z_1$ dentro de $X$ se empieza por deformar la suryección $L^{-1} \rightarrow \mathcal{O}_X$ para obtener una familia de subesquemas. Para obtener una familia plana hay que asegurarse de que las relaciones también se deformen, es decir, que haya una deformación de la presentación $L^{-2} \rightarrow L^{-1} \rightarrow \mathcal{O}_X$ . No sé, en este caso siempre podemos extender esta deformación a todo el complejo $L^*$ . En cualquier caso, se pueden obtener deformaciones de $Z_1$ mediante la deformación de los mapas $d_i$ manteniendo la relación $d^2 =0$ y las láminas de cohomología $H^{-i}(L^*), i>0$ arreglado.