¿esta secuencia converge?

Question

Tengo algunos problemas con esto, porque esta secuencia podría converger a algún punto, o va al infinito, sólo estas dos posibilidades, y realmente no sé cómo demostrar que ninguna otra posibilidad puede suceder, ese es mi problema. La secuencia es tal que existe una constante positiva fija C, tal que para cada m,n enteros $ a_m + a_n < a_{m + n} + C $

demostrar que $ (a_n)/n $ convergen a un punto, o van al infinito $

y alguna idea para demostrar en general que otra de las dos posibilidades no puede ocurrir?

Answer 1

Sustitución de $a_n$ por $a_n - C$ no afecta ni a la convergencia ni al valor límite de $a_{n} / n$ . En este caso, tenemos $$a_{m} + a_{n} \leq a_{m+n},$$ y esto da un simple límite inferior para $a_{n} / n$ , a saber $a_1$ . Esto demuestra que $s = \limsup_{n\to\infty} a_{n} / n$ es $+\infty$ o una constante finita.

Nótese que podemos encontrar una subsecuencia $n_k$ tal que $a_{n_k} / n_{k} \to s$ . Ahora arregla $k$ y escribir $n = q n_k + r$ , donde $q$ y $r$ son números enteros que dependen de ambos $n$ y $k$ tal que $1 \leq r \leq n_k$ . Entonces $$ a_{n} \geq a_{qn_{k}} + a_{r} \geq q a_{n_{k}} + a_{r}.$$ Dividiendo ambos lados por $n$ da $$ \frac{a_{n}}{n} \geq \frac{q a_{n_{k}} + a_{r}}{qn_{k} + r} = \frac{a_{n_{k}} + (a_{r} / q)}{n_{k} + (r/q)}$$ para $n$ grande para que $q > 0$ . Entonces, tomando $\liminf_{n\to\infty}$ a ambos lados da como resultado $$ \liminf_{n\to\infty} \frac{a_{n}}{n} \geq \frac{a_{n_{k}}}{n_{k}}.$$ Pero como esto es cierto para cualquier $k$ , tomando $k \to \infty$ demuestra que $a_{n} / n$ tiende a $+\infty$ o un valor finito como $n \to \infty$ .

Answer 2

Pruebe el siguiente método: cambie las variables $b_n=C-a_n$ obtenemos $b_{n+m}<b_n+b_m$ Además, es fácil ver que $\{ \frac{a_n}{n}\}$ y $\{\frac{b_n}{n}\}$ tienen el mismo comportamiento convergente (ambos son convergentes a algún punto, o ambos van al infinito, o ambos son divergentes).La convergencia de $\{\frac{b_n}{n}\}$ es un resultado bien conocido.Puedes hacerlo por tu cuenta o ver lo siguiente:deja que $b=\lim_{n\longrightarrow \infty}\inf_{k>n}\{ \frac{b_k}{k}\}$ , $b$ (puede ser infinito). De forma similar, tenemos $b'=\lim_{n\longrightarrow \infty}\sup_{k>n}\{ \frac{b_k}{k}\}$ y $b\leq b'$ A continuación mostramos que $b=b'$ Por definición de $b$ , $ \forall \epsilon >0,\exists N,s.t.|\frac{b_N}{N}-b|<\epsilon$ Por definición de $b'$ hay una subsecuente $\{\frac{b_{n_r}}{n_r}\}$ que converge a $b'$ Nota $\forall n_r,\exists k_r,q_r\in \mathbb{N}(0\leq q_r <N),s.t.n_r=k_r N+q_r$ Al lado de $b_{n_r}<k_rb_N+b_{q_r}$ Nota $\{b_{q_r}\},\{q_r\}$ están acotados, por lo que se toman límites con respecto a $r$ en $\frac{b_{n_r}}{n_r}<\frac{k_r b_N+b_{q_r}}{k_r N+q_r}$ obtenemos $b'\leq \frac{b_N}{N}<b+\epsilon$ .desde $\epsilon $ es arbitrario, obtenemos $b'\leq b$ Como resultado, $b=b'$ lo que significa exactamente que la secuencia $\{\frac{b_n}{n}\}$ Como se desconoce si $b$ es finito o infinito, obtenemos los dos casos que acabas de señalar.