¿Qué espacios son relativamente compactos y están conectados?

Question

Dejemos que $X=\{(x,y):x^2+y^2<5\}$ y $K=\{(x,y) :1\leq x^2+y^2\leq 2\text{ or }3\leq x^2+y^2\leq 4\}$ . Entonces que son verdaderos:

$1$ . $X\setminus K$ tiene $3$ componentes conectados.

$2$ . $X\setminus K$ no tiene componentes conectados relativamente compactos.

$3$ . $X\setminus K$ tiene dos componentes conectados relativamente compactos.

$4$ Todos los componentes conectados de $X\setminus K$ son relativamente compactas.

Lo tengo. $X\setminus K$ es $\{(x,y):x^2+y^2<1\text{ or }2<x^2+y^2<3\text{ or }4<x^2+y^2<5\}$ . Así, $X\setminus K$ tiene $3$ componentes conectados.

Como ninguna de las dos componentes es cerrada y por lo tanto no es compacta $X\setminus K$ no tiene componentes conectados relativamente compactos. Así que $1,2$ son correctos.

¿Son correctas estas opciones? Estaría agradecido si alguien pudiera comprobarlo.

Answer 1

Estoy de acuerdo con sus componentes. Pero relativamente compacto significa que su cierre es compacto. Y las dos primeras componentes tienen cierres compactos, mientras que la última no (podemos tomar secuencias que van a puntos con norma 5, que no tienen subsecuencia convergente porque esos puntos no están en $X$ ).