Si $n$ es un número entero positivo, entonces $(-2^n)^{-2} + (2^{-n})^2 = 2^{-2n+1}$

Question

No estoy seguro de por qué $$(-2^n)^{-2} + (2^{-n})^2=2^{-2n+1}$$

Llevo un rato dándole vueltas a esta ecuación, dándome cuenta, y he conseguido llegar bastante lejos en la ecuación, encontrando que

$$ (-2^n)^{-2} + (2^{-n})^2 \implies \frac{1}{(-2^n)^2} + \frac{1}{(2^n)^2} $$

que creo que entonces se convierte en $ \dfrac{2}{2^{2n}}$

Pero entonces me quedo atascado.

Answer 1

Así que, tenemos $\dfrac{1}{-2^n \cdot -2^n} + \dfrac{1}{2^n \cdot 2^n} = \dfrac{1}{2^n \cdot 2^n} + \dfrac{1}{2^n \cdot 2^n} = \dfrac{2}{2^{2n}}$ ya que sumar dos cosas iguales es lo mismo que multiplicar por $2$ .

Muy bien, así que tienes $\frac{2}{2^{2n}}$ . ¡Eso es un buen trabajo! Ahora usa la propiedad que $\frac{a}{b} = ab^{-1}$ ya que $\frac{1}{b} = b^{-1}$ . Diferentes anotaciones, la misma cosa.

Ahora, eso significa que tienes $\frac{2}{2^{2n}} = 2\cdot 2^{-2n}$ . Ya casi estamos: recuerda que $a^b \cdot a^c = a^{b+c}$ esto se puede ver escribiendo $a^b \cdot a^c = \underbrace{a \cdot a \cdots a}_{b \, \text{times}} \cdot \underbrace{a \cdot a \cdots a}_{c \, \text{times}} = \underbrace{a \cdot a \cdots a}_{(b+c) \, \text{times}} = a^{b+c}$ .

Aplicando esto a su caso con $a = 2$ , $b = 1$ , $c = -2n$ tenemos $2 \cdot 2^{-2n} = 2^{1 - 2n} = 2^{-2n + 1}$ .

Answer 2

Se puede estudiar el lado derecho del signo implícito anterior, a saber

\begin{align} \frac{1}{(-2^n)^2} + \frac{1}{(2^n)^2} &= \frac{2^{2n}+(-1)^{2n}2^{2n}}{(-1)^{2n}2^{4n}}\\ &= \frac{2.2^{2n}}{2^{4n}} \qquad (-1)^{2n}=1 \quad \forall n\\ &= \frac{2}{2^{2n}} \end{align}

Así, \begin{align} \frac{1}{(-2^n)^2} + \frac{1}{(2^n)^2} &= \frac{2}{2^{2n}} \\ \implies (-2^n)^{-2} + (2^n)^{-2}&=2.2^{-2n} \\ &= 2^{-2n+1} \end{align}

Espero que eso ayude.

Answer 3

Tenemos $$a^{-2}=\frac{1}{a^2}$$ así obtenemos $$(-2^n)^{-2}=\frac{1}{(-2^n)^{2}}=\frac{1}{2^{2n}}$$ más es $$(2^{-n})^2=\frac{1}{2^{2n}}$$

Answer 4

$(-2^n)^{-2} + (2^{-n})^2=$

$\frac 1{(-2^n)^2} + (\frac{1}{2^n})^2 = $

$\frac 1{(2^n)^2} + \frac 1 {(2^n)^2} = $

$\frac 1{2^{2n}} + \frac 1{2^{2n}} = $

$\frac 2{2^{2n}} = $

$\frac 1{2^{2n-1}} = $

$2^{-(2n-1)} = $

$2^{-2n+1}$

O si te sientes más cómodo con las reglas de los exponentes:

$(-a)^{b_{\text{even}}} = a^b$ así que

$(-2^n)^{-2} + (2^{-n})^2 = (2^n)^{-2} + (2^{-n})^2 = 2^{-2n} + 2^{-2n} = 2*2^{-2n} = 2^{-2n + 1}$