En algunos casos, se puede recuperar la información de L_2 en el límite considerando paseos aleatorios, o dicho de otro modo, básicamente contando caminos. Cuando dices "espacio discreto con comportamiento similar a L_1", me imagino una gran cuadrícula de puntos (algo así como Z ^d) que están conectados a sus vecinos más cercanos por aristas, definiéndose la distancia entre dos puntos de forma natural en la teoría de grafos como la longitud del camino más corto entre ellos. En este caso, se puede considerar un paseo aleatorio uniforme a lo largo de las aristas del grafo, y luego refinar sucesivamente la cuadrícula. Esto es importante: si se refina la cuadrícula, digamos, en un factor de dos (por lo que cada paso del paseo aleatorio se convierte en la mitad), entonces hay que refinar el paseo dando pasos cuatro veces más rápido. (En general, cuando se refina por un factor F, hay que dar pasos F^2 veces más rápidos). A medida que vas refinando, la probabilidad de que el paseo acabe cerca de un punto concreto en un momento fijo del futuro puede estabilizarse en algo parecido a una función de L_2 de distancia desde el punto de partida.
Si esta construcción funciona en tu caso, entonces puedes pensar que el logaritmo de la probabilidad de acabar en una vecindad pequeña es aproximadamente proporcional al volumen de la vecindad y al cuadrado de su distancia L_2 desde el punto de partida, pero excepto en casos muy especiales, la aproximación probablemente no será buena para todos los pares de puntos, especialmente si no están muy cerca unos de otros. Hay que tener en cuenta que el cálculo de estas probabilidades equivale básicamente a contar caminos de longitudes determinadas entre puntos, en lugar de limitarse a encontrar la longitud del camino más corto (que correspondería aproximadamente a la distancia L_1).
La medida en que ese cálculo se parezca realmente a una distancia similar a la de L_2 depende de muchas cosas. La construcción funcionará básicamente como se indica cuando se refina sucesivamente una cuadrícula como Z ^d debido al teorema del límite central. Si tu "espacio discreto" no es muy parecido a éste, entonces la construcción podría no funcionar en absoluto, o podría darte algo que no es del todo correcto pero que es "lo suficientemente cercano para el trabajo gubernamental", por así decirlo. Tendrás que juzgarlo tú.
