$SU(2)$ Lagrangiano invariante

Question

Consideremos dos multipletes escalares arbitrarios $\Phi$ et $\Psi$ invariante bajo $SU(2)\times U(1)$ . Al escribir el potencial de este modelo, además de los términos habituales como $\Phi^\dagger \Phi + (\Phi^\dagger \Phi)^2$ A menudo veo en la literatura, términos menos usuales como: $$\Phi^\dagger T^a \Phi \ \Psi^\dagger t^a \Psi + \Phi^{c\dagger} T^a \Phi \ \Psi^\dagger t^a \Psi^c $$ donde $T^a$ et $t^a$ son generadores SU(2) en diferentes representaciones, y la representación de carga conjugada se define como $\Phi^c \equiv C \Phi^*$ con $C$ siendo la matriz de conjugación de carga antisimétrica (como $\epsilon$ matriz en representación bidimensional).

Véase un ejemplo de la ecuación (1) en este papel .

Me pregunto por qué los términos anteriores son invariables bajo una $SU(2)$ ¿Transformación?

Se agradecerá cualquier ayuda o comentario.

Answer 1

La idea de la $C$ es que si $\Phi$ transformaciones como $\Phi\rightarrow U\Phi$ , donde $U$ es alguna representación de SU(2), entonces también $\Phi^c\rightarrow U\Phi^c$ . Puede calcularlo usted mismo utilizando el $\epsilon$ para el caso de la representación fundamental.

Ahora tomando el conjugado complejo tenemos $\Phi^\dagger\rightarrow \Phi^\dagger U^{-1}$ (de manera similar para $\Phi^c$ ), y así $$\Phi^\dagger \tau^a \Phi\rightarrow \Phi^\dagger\left( U^{-1}\tau^a U\right)\Phi=R(U)^a_{\,b}\Phi^\dagger\tau^b\Phi$$ donde $R(U)$ es la representación adjunta de SU(2).

Así que los términos tal y como los has escrito no son $SU(2)$ invariante, están en la representación adjunta. Pero si se mira en el documento se contraen con otro factor en la representación adjunta (con índice $a$ ), por lo que el término completo con ambos factores es invariante.

Answer 2

Suprimen los índices SU(2). Si esta es tu primera pasada tienes todo el derecho a estar confundido. Seré muy explícito con mis índices para que puedas ver la estructura subyacente.

Teorema: El producto de dos representaciones de $\phi, \psi$ de SU(2) es invariante si sus índices se contraen con un tensor invariante (de la misma representación) de SU(2).

Esto es un poco confuso, pero lo siguiente debería aclararlo. Hay dos tensores invariantes de la 2 rep de $SU(2)$ (1) $\epsilon_{ab}$ y (2) $\delta_{\bar{a} b}$ . La barra denota un índice que se transforma bajo la representación compleja conjugada.

Ahora, vamos a escribir sus dos vectores $\Phi$ y $\Phi^\dagger$ explícitamente con índices. El aspecto sería el siguiente

$$ \Phi \sim \Phi_a \qquad \Phi^\dagger \sim \Phi^\dagger_\bar{a}$$

Este es el problema que tengo con la pregunta : Tal y como está formulada la pregunta, simplemente no es cierto en general. Como se menciona en el primer párrafo bajo el "teorema", las únicas dos contracciones invariantes de dos dobletes SU(2) son

$$ \Phi^\dagger_\bar{a} \delta_{\bar{a} b} \Phi_b \sim \Phi^\dagger \Phi$$

y

$$ \Phi_a\Phi_b \epsilon_{ab} \sim \Phi \Phi$$ .

Esta última se denomina representación singlete, donde a la derecha he escrito la notación de "índice suprimido" de cada contracción.

Posible resolución : Mi adivinar es que el documento está asumiendo que $\Phi$ transforma en el Adjoint representación de SU(2) (también denominada 3 ). Si este es el caso, entonces En efecto, la contracción entre el 3 y otro 3 dado por

$$ \Phi^\dagger_{i} T^a_{ij} \Phi_j$$

donde $T^a$ es un generador del fundamental de SU(2), es de hecho un invariante de la representación adjunta si SU(2). Si se observa la derivada gauge-covariante de la QCD, esto es exactamente lo mismo (excepto con SU(3)).

Conclusión : Las dos invariantes diferentes de las que hablas son para dos diferentes representaciones de SU(2). En efecto, casi siempre que se ve $\Phi^\dagger T^a \Phi$ casi siempre se habla del adjunto de SU(3) (el 8 de SU(3)) y no el 3 de SU(2). Pero la cuestión es que los dos invariantes que has escrito corresponden a dos diferentes representaciones de SU(2) (la fundamental y la adjunta) y, por lo tanto, nunca pueden aparecer en el mismo lagrangiano (a menos que proporcione a sus representantes ambos índices), sólo los verás en diferentes teorías.