Se trata de una versión de tres variables del IFT, y la prueba la encontré en un sitio web que se da de la siguiente manera:
WLOG, el conjunto S puede tomarse como un paralelepípedo, una caja, centrada en P porque dentro del conjunto S habrá al menos una caja de este tipo. Dentro de cualquier caja habrá otra caja que contenga a P y en la que F/z tenga el mismo signo que en P. Sea la caja un triple (a,b,c) tal que
|x-x0| a |y-y0| b |z-z0| c
WLOG, el signo de F/z en P puede tomarse como positivo.
Esto significa que
F(x0,y0,z0+c) > 0 F(x0,y0,z0-c) < 0
Consideremos ahora un punto cualquiera (x1,y1) tal que
|x1-x0| a |y1-y0| b
Como F(x0,y0,z0+c) > 0 y F(x,y,z) es continua, F(x1,y1,z0+c) > 0. Igualmente F(x1,y1,z0-c) < 0. Con x e y fijados en x1 e y1, G(z)=F(x1,y1,z) es una función tal que G(z0+c) > 0 y G(z0-c) < 0. Por tanto, existe algún valor de z entre z0-c y z0+c tal que G(z)=0; es decir, F(x1,y1,z)=0. Además, este valor de z es único. Dado que esto se cumple para cualquier (x,y) tal |x-x0| a |y-y0| b
sobre este dominio existe una función z=f(x,y) tal que F(x,y,z)=0.
No entiendo por qué por continuidad de F(x,y,z) F(x1,y1,z0+c) tiene los mismos signos que F(x0,y0,z0+c).
Me confunde mucho. ¡¡Espero que alguien pueda ayudar!!
¡Muchas gracias!
