¿Las sumas siempre se incrementan en uno? ¿Cómo se incrementa por un número negativo? ¿O por cualquier número real?

Question

¿Las sumas siempre se incrementan en uno?

Tener más conocimientos de programación que de matemáticas. Apenas estoy aprendiendo sobre las sumas y las veo como bucles que se incrementan en uno.

Si mi suposición es correcta, ¿cuál es el método/forma equivalente para incrementar por valores no iguales a uno?

Answer 1

¿Las sumas siempre se incrementan en uno?

Eso depende de lo que se entienda por suma.

Por ejemplo $$S = \sum_{i = 1}^n s_i = \sum_{i \in I} s_i$$ significa una suma, en la que los índices se recogen de $I = \{1,\ldots, n\}$ . El conjunto de índices $I$ podría ser atravesado comenzando en $1$ e incrementando a $n$ en pasos de $+1$ . Pero esa es sólo una forma de $n!$ posibles formas de sumar los $s_i$ arriba.

Tener más conocimientos de programación que de matemáticas. Sólo estoy aprendiendo sobre sumas y las veo como bucles que incrementan por uno.

Si mi suposición es correcta, ¿cuál es el método/forma equivalente para incrementar por valores no iguales a uno?

Podrías empezar con $n$ y terminar con $1$ . O bien utiliza primero los índices Impares ascendentes y los pares descendentes. $$S = \sum_{\overset{i \in I}{ i \bmod 2 = 1}} s_i + \sum_{\overset{i \in I}{ i \bmod 2 = 0}} s_i$$

Debería conducir a la misma suma, ya que el orden no importa para el conjunto de índices finitos.

Answer 2

No, las sumas no siempre se incrementan en uno. De hecho, las sumas pueden ser sobre muchos tipos de conjuntos, posiblemente ni siquiera restringidos a los enteros o a la cardinalidad contable. Algunos ejemplos de Wikipedia :

Un ejemplo de prueba que implica una suma sobre un conjunto incontable puede verse aquí en SE: La suma de un número incontable de números positivos

Answer 3

Esto puede parecer al principio un problema, pero una vez que empiezas a pensar en cómo resolverlo la solución se vuelve obvia y da fe de la belleza de la simplicidad en las matemáticas.

Resolvamos el problema de poder incrementar por cualquier número real: simplemente multiplique $i$ por $p$ el número real deseado.

¿Usar números negativos? Incrementar en un número negativo, etc.

Answer 4

¿Alguien ha pensado en utilizar la notación de programación? Por ejemplo, para un incremento de 3

$$\sum_{\substack{n=0 \\ n+=3}}^{\inf} n$$

Creo que incluso sería mejor poner el incremento en medio de la suma (empezar debajo, incrementar en medio, terminar arriba), pero latex carece de soporte para eso sin hacer que parezca el contenido de la suma. Si se entendiera que es la operación +=, incluso se podría poner simplemente '3' en el centro y que se entendiera que eso significa incremento.

Incluso podrías hacer condiciones de incremento más extrañas como en términos de remanentes si esto es lo que quieres

$$\sum_{\substack{n=0 \\ n\%3=1}}^{\inf} n$$

daría cada número justo después de un múltiplo de 3. Es cierto que para este caso específico se podría empezar por 1 e indexar por 3, pero esta notación podría extenderse a situaciones más extrañas.

Answer 5

En programación, muchos lenguajes prevén un paso opcional en el bucle. Por defecto, se trata de $1$ pero puedes ponerlo en otra cosa. En matemáticas, es similar. El valor por defecto es incrementar en $1$ . Si quieres sumar todos los múltiplos de $3$ de $3$ à $30$ , se podría escribir $$\sum_{i=1}^{10}3i$$ , donde $i$ incrementa en $1$ y el factor $3$ consigue el incremento que realmente desea. En programación puedes hacer lo mismo. Puedes escribir para i=1 a 10;k=3*i y usar k en lugar de i para tus cálculos. También puedes escribir para i=3 a 30 paso 3. En matemáticas puedes escribir $$\sum_{ \substack {i=3\\ i\equiv 0 \pmod 3}}^{30}i$$ para obtener un paso de 3. Parece bastante raro en las matemáticas, más común en la programación, en mi experiencia