Suponiendo que tengo una serie de puntos $(x_i, y_i)$ donde el $x_i$ son todos diferentes, ¿cómo haría para crear un polinomio que pase por esos puntos? Por supuesto, si el $y_i$ son todos 0, puedo usar el teorema del factor, pero no puedo encontrar una manera fácil para valores no nulos de $y$ .
Respuestas
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Una forma podría ser resolver un sistema lineal de exación. De hecho, si se tiene $k$ diferentes puntos $(x_i,y_i)$ con $x_i$ diferentes entre sí, puedes costruir un polinomio: $$P(x)=a_{k-1}x^{k-1}+a_{k-2}x^{k-2}+a_1x+a_0$$ En particular, hay que resolver para $(a_{k-1},a_{k-2},\cdots,a_1,a_0)$ en el siguiente sistema: $$\left\{\begin{matrix} a_{k-1}x_1^{k-1}+a_{k-2}x_1^{k-2}+\cdots+a_1x_{1}+a_0=y_1 \\ \vdots \\a_{k-1}x_k^{k-1}+a_{k-2}x_k^{k-2}+\cdots+a_1x_{k}+a_0=y_k \end{matrix}\right.$$
vonbrand
Puntos
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En teoría, se puede establecer un sistema lineal de ecuaciones para los coeficientes. Si hay $n$ diferentes puntos, definen un polinomio de grado $n -1$ . Terminas enredado con El determinante de Vandermonde muy divertido de esa manera.
En la práctica, se utiliza el Forma de Lagrange del polinomio interpolador , o es forma baricéntrica . Los paquetes como, por ejemplo, SciPy, NumPy (Python) o las bibliotecas para el cálculo numérico tienen esto incorporado.
