Encontrar la distribución de $Y$ el mínimo de algunas variables aleatorias IID

Question

Como estoy aprendiendo las distribuciones multivariantes y algunas distribuciones especiales como la gamma, la chi-sqaure, me cuesta entender los conceptos entre las dos preguntas que voy a escribir. Las siguientes preguntas son de un libro de texto de hogg

$Q_1$ : Dejemos que $X_1,X_2,X_3,X_4$ sean cuatro variables aleatorias independientes, cada una con pdf $$f(x) =\begin{cases} 3(1-x)^2, & 0 < x < 1,\\ 0,& \text{elsewhere}. \end{cases}$$ Si $Y$ es el mínimo de estas cuatro variables, encuentre la cdf y la pdf de $Y$ .
Una pista: $P(Y>y) = P(X_i > y, i=1,\dotsc,4)$ .

$Q_2$ : Dejemos que $X_1,X_2,X_3$ sean variables aleatorias iid, cada una con pdf $$f(x) =\begin{cases} e^{-x},& 0 < x < \infty,\\ 0, & \text{elsewhere}. \end{cases}.$$ Encuentre la distribución de $Y = \min(X_1,X_2,X_3)$ .
Una pista: $P(Y \le y) = 1 - P(Y>y) = 1 - P(X_i > y, i=1,2,3)$

De estas dos preguntas anteriores, no entiendo muy bien como ambas preguntas piden el mínimo, y sin embargo sus insinuaciones son totalmente opuestas. ¿Podría alguien explicar esto?

Answer 1

En cualquier caso, se le pide que encuentre la fdc. Generalmente, tiene la opción de encontrar primero el pdf o el cdf. En este caso, te guían para encontrar primero el cdf porque resulta ser más fácil.

Ahora, para encontrar la cdf sería calcular $P(Y\leq y)$ . En palabras, esto significa que el mínimo $Y$ tiene que ser menor que alguna constante $y$ . Pero este es un enfoque difícil porque estás poniendo un "límite superior" (a falta de una palabra mejor) en el mínimo. En cambio, es más fácil considerar un "límite inferior" en el mínimo, $Y>y$ . Para conseguirlo, observamos que $$P(Y\leq y) = 1- P(Y>y).$$

En palabras, esto significa que el mínimo tiene que ser mayor que $y$ . Esto significa que cada $X_k$ tiene que ser mayor que $y$ , $$P(Y\leq y) = 1- P(Y>y) = 1-P\left(\bigcap_{k = 1}^n X_k >y\right) = 1-\prod_{k=1}^nP(X_k>y)$$ donde la última igualdad se cumple por independencia. Dado que el $X_k$ son iid, tenemos $$1-\prod_{k=1}^nP(X_k>y) = 1 - [P(X_1>y)]^n.$$