Sujeto a algunas condiciones, ¿es posible concluir que un subcampo de una extensión abeliana generado por una unidad es una extensión cíclica

Question

Mi investigación se centra principalmente en el ámbito de las categorías modulares. En el curso de mi investigación me encontré con un conjunto de condiciones restrictivas de la teoría de los números que me gustaría explotar. Se ha señalado que varias de las condiciones parecen un poco impar desde el punto de vista de la teoría de los números (que es quizás la razón por la que mis intentos de encontrar ayuda en la literatura han sido infructuosos), sin embargo son con las que tengo que trabajar. Discutir el origen de las condiciones me llevaría, creo, a alejarme de la cuestión, pero si te interesa, las principales fuentes son

Sobre la clasificación de las categorías tensoriales modulares

Sobre los codegrees formales de las categorías de fusión

Así que sin más preámbulos...

Si $\mathbb{K}:=\mathbb{Q}\left(d_{1}, d_{2},\ldots, d_{n}\right)$ es una extensión abeliana de $\mathbb{Q}$ con el grupo de Galois $G=Gal\left(\mathbb{K}/\mathbb{Q}\right)$ y el anillo de enteros $\mathcal{O}_{\mathbb{K}}$ tal que

1. $G$ es un subgrupo abeliano de $\mathfrak{S}_{n}$ el grupo simétrico en $n$ -cartas.
2. $d_{i}\in\mathcal{O}_{\mathbb{K}}$
3. $\frac{d_{i}}{\sigma\left(d_{i}\right)}$ es una unidad en $\mathcal{O}_{\mathbb{K}}$ $\forall \sigma\in G$
4. $d_{1}$ es una unidad en $\mathcal{O}_{\mathbb{K}}$

5. Hay un elemento $\tau\in G$ tal que

   a. $\tau\left(d_{1}\right)\neq d_{1}$ .

   b. $\displaystyle{\prod_{1\leq a\leq ord\left(\tau\right)}}\tau^{a}\left(d_{1}\right)=\pm1$

   c. $\tau$ induce una permutación $\hat{\tau}\in\mathfrak{S}_{n}$ tal que $d_{1}\tau\left(d_{i}\right)=\pm d_{\hat{\tau}\left(i\right)}$ .

Realmente me gustaría entender $\mathbb{Q}\left(d_{1}\right)$ de alguna manera razonable.

Lo que me llamó la atención fue que si $\mathbb{Q}\left(d_{1}\right)$ era una extensión cíclica de $\mathbb{Q}$ con el grupo de Galois $\langle\tau\rangle$ entonces $$\displaystyle{\prod_{1\leq a\leq ord\left(\tau\right)}}\tau^{a}\left(d_{1}\right)=\pm1$$ sería exactamente la condición que $d_{1}$ es una unidad en $\mathcal{O}_{\mathbb{Q}\left(d_{1}\right)}^{\times}$ .

A la luz de esto, realmente me gustaría concluir que $\mathbb{Q}\left(d_{1}\right)$ es una extensión cíclica de $\mathbb{Q}$ con el grupo de Galois $\langle \tau\rangle$ . No he podido encontrar un ejemplo contrario en el contexto de las categorías modulares, pero quizás desde el punto de vista de la teoría de los números esto es pedir demasiado. Si no se puede concluir que $Gal\left(\mathbb{Q}\left(d_{1}\right)/\mathbb{Q}\right)=\langle\tau\rangle$ ¿Qué se puede decir?

Como he mencionado anteriormente, la literatura de teoría de números/teoría de campos no ha sido muy útil. Esto podría ser simplemente un síntoma de no tener el vocabulario correcto para buscar de manera eficiente. Por ejemplo $\displaystyle{\prod_{1\leq a\leq ord\left(\tau\right)}}\tau^{a}\left(d_{1}\right)$ se parece mucho a una norma, pero no parece ser exactamente lo que es, y no estoy muy seguro de cómo llamarlo.

Answer 1

Tengo muchos problemas para seguir todos los detalles, pero lo siguiente obedece a todas las condiciones excepto la 5c, y como comenté arriba algo falla en la 5c.

Dejemos que $K$ sea un campo totalmente real con grupo de Galois $\mathbb{Z}/4$ . Para ser concretos, dejemos que $\zeta$ ser un $17$ raíz de la unidad y tomar el subcampo de $\mathbb{Q}(\zeta)$ generado por $\alpha:=\zeta^{1} + \zeta^{4} + \zeta^{-1} + \zeta^{-4}$ . Escriba $\sigma$ para el generador de $\mathbb{Z}/4$ : decir $\sigma: \zeta \mapsto \zeta^3$ . Nuestro $\tau$ será $\sigma^2$ .

Dejemos que $L$ sea el subcampo cuadrático de $K$ . En nuestro ejemplo concreto, $L = \mathbb{Q}(\sqrt{17})$ . Los grupos unitarios de $K$ y $L$ son $\{ \pm 1 \} \times \mathbb{Z}^3$ y $\{ \pm 1 \} \times \mathbb{Z}$ .

Tome $u$ una unidad de $K$ de tal manera que ni $u$ ni $u^2$ está en $L$ . Establecer $d_1 = u/\tau(u)$ . Por construcción, $d_1 \tau(d_1) =1$ .

Sin embargo, afirmo que $\mathbb{Q}(d_1) = K$ que es cíclico de orden $4$ , no de orden $2$ . El único subcampo intermedio es $L$ . Supongamos, por si acaso, que $d_1 \in L$ . Entonces $\tau(d_1) = d_1$ así que $d_1^2 =1$ y $d_1 = \pm 1$ . Pero entonces $u = \pm \tau(u)$ y $u^2 = \tau(u^2)$ , contradiciendo que $u^2 \not \in K$ .

Así que ahora hemos conseguido que $d_1 \tau(d_1) = 1$ y que $Gal(\mathbb{Q}(d_1),\mathbb{Q})$ no es $\langle \tau \rangle$ . Ahora sólo tengo que añadir más $d$ para que se cumplan el resto de las condiciones. Tomando $d_1$ , $d_2$ , $d_3$ y $d_4$ para ser el $\sigma$ órbita de $d_1$ funciona.

Answer 2

Parece que su pregunta más general es "¿por qué debería $\prod_{a=1}^{\mathrm{ord} \tau} \tau^a(d_1)$ sea $\pm 1$ si $\tau$ no genera $\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(d_1))$ ?" Esta es una manera de pensar en ello. Para simplificar, dejemos que $K/\mathbb{Q}$ ser totalmente real, le dejo a usted que resuelva el complejo caso. Dejemos que $U$ sea $\mathbb{R} \otimes \mathcal{O}_K^{\times}$ . La demostración del teorema de la unidad de Dirichlet muestra que, como representación de $G$ , $U$ es la representación regular módulo la representación trivial.

La imagen de $\mathcal{O}_K^{\times}$ en $U$ es una red discreta de rango completo y el núcleo de $\mathcal{O}_K^{\times}\to U$ es la torsión. Como $K$ es totalmente real, la torsión es sólo $\pm 1$ . Así, una igualdad entre unidades que se mantiene en $U$ también se mantendrá para firmar en $\mathcal{O}_K^{\times}$ . Sea $u$ sea la imagen de $d_1$ en $U$ .

La condición de que $\prod \tau^a(d_1) = \pm 1$ es entonces que el elemento $\sum \tau^a$ en $\mathbb{Z}[G]$ aniquila $u$ . En otras palabras, que $U$ tiene $0$ proyección sobre el $H$ -parte trivial de $U$ . Se trata de un subespacio de $U$ de dimensión $|G|-|H|$ . CORRECCIÓN Se trata de un subespacio de $U$ de dimensión $|G| - |G/H|$ .

La condición de que $\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(d_1), \mathbb{Q})$ ser generado por $\tau$ dice que el estabilizador de $d_1$ junto con $\tau$ , genera $G$ . Excepto en algunos subespacios de menor dimensión del subespacio de $U$ arriba, $d_1$ tiene estabilizador trivial. Por lo tanto, a menos que $G = \langle \tau \rangle$ Esto no va a suceder.