Pregunta sobre la probabilidad de lluvia

Question

Esta es la cuestión: La mayoría de las mañanas, Víctor consulta el parte meteorológico antes de decidir si lleva paraguas. Si la previsión es de "lluvia", la probabilidad de que realmente llueva ese día es del 80%. Por el contrario Por el contrario, si la previsión es "sin lluvia", la probabilidad de que llueva realmente es del 10%. En Durante el otoño y el invierno la previsión es de "lluvia" el 70% de las veces y durante el verano y la primavera es del 20%.

(a) Un día, Víctor se equivocó en el pronóstico y llovió. ¿Cuál es la probabilidad de que el pronóstico fuera "lluvia" si fue durante el invierno? ¿Cuál es la probabilidad de que el pronóstico fuera "lluvia" si fue en verano?

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He calculado el numerador para el invierno y el verano, pero tengo problemas para encontrar el denominador. Se agradece cualquier ayuda.

Hasta ahora lo he hecho: Sea A el suceso de que la previsión era de lluvia. Sea B el suceso de que haya llovido. Sea p la probabilidad de que la previsión diga lluvia. Entonces,

P(A|B) = P(B|A)P(A)

Answer 1

Resulta más fácil si se nombran los eventos "mnemotécnicamente" y se utiliza una fórmula más sencilla, por ejemplo

$R$ = evento que llueve,
$F$ = evento La previsión era de lluvia

$P(R|F) = \dfrac{P(R\cap F)}{P(R\cap F)+P(R\cap F^c)}$

Answer 2

Hagámoslo para el invierno. Usando su notación: dejemos $A$ se pronostican lluvias, y $B$ es la lluvia real. Durante el invierno $70\%$ de las previsiones son de lluvia, por lo que $P(A) = 0.7$ y la probabilidad de que el pronóstico no sea de lluvia es $P(\bar A) = 1- 0.7 = 0.3$ por lo que utilizando la regla de Bayes \begin{align} P(A|B) &= \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}\\ & = \frac{ 0.8\times 0.7 }{ P(B|A)P(A) + P(B|\bar A) P( \bar A ) }\\ & = \frac{ 0.8\times 0.7 }{ 0.8\times 0.7 + 0.1\times 0.3 }, \end{align}

puede hacer lo mismo para el verano sustituyendo $0.7$ por $0.2$ y $0.3$ por $0.8$ .