Resolver para $k$ tal que $f$ es una función continua de valor real

Question

Encuentra un valor no nulo para la constante $k$ tal que $f$ definida como a continuación es continua en $x = 0$ .

$$f(x) = \begin{cases} \frac{\tan(kx)}{x}, \hspace{0.3cm}x< 0 \\ 3x + 2k^2, \hspace{0.3cm}x\geq0 \end{cases}$$

Mi intento:

$$\lim_{x\rightarrow0^{-}}\frac{\tan(kx)}{ x} = \lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{\sin(kx)}{ x\cos(kx)} = \lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{k\sin(kx)}{(kx)}\frac{1}{\cos(kx)} = k\lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{1}{\cos(kx)} = k$$

$$\lim_{x \rightarrow 0^{+}}3x+2k^2 = 2k^2$$

Para la continuidad debemos tener que el límite de la derecha debe ser igual al límite de la izquierda, es decir $k = 2k^2$ Así que

$$k(2k-1) = 0$$

Por lo tanto, un valor distinto de cero para la constante $k$ tal que $f$ es continua en $x=0$ es $k = 1/2$ .

No estoy totalmente seguro de mi solución. ¿Podría alguien decirme si he tomado el camino correcto y por qué? ¿O tal vez decirme que estoy totalmente equivocado y echarme una mano?

Answer 1

Parece que tiene razón. Para decirlo de forma más concisa, tenga en cuenta que $$\lim_{x \to 0-} \frac{ \tan kx}{x}=\lim_{x \to 0-} \frac{ \tan kx}{kx} \times k=k$$ Y $$\lim_{x \to 0+} 3x+2k^2=2k^2$$ Así que $2k^2=k$ y snce $k \neq 0$ así que $k=\frac{1}{2}$ .