Si tres vectores como $|a|^2=a\cdot b=b\cdot c=1,a\cdot c=2$ demuestran que $|a+b+c|\ge 4$

Question

Dejemos que tres vectores $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ tal $$|\vec{a}|^2=\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot \vec{c}=1,\vec{a}\cdot \vec{c}=2$$

demostrar que $$|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|\ge 4$$

desde $$|a+b+c|^2=|a|^2+2(a\cdot b+\vec{b}\cdot \vec{c}+\vec{a}\cdot \vec{c})+|b|^2+|c|^2=9+|b|^2+|c|^2$$ basta con demostrar $$|b|^2+|c|^2\ge 7$$ o $$|b+c|\ge 3$$ Lo hago ahora

Gracias de antemano.

Answer 1

Se nos da eso, $a.b=1$ y $a.c=2$ . Sumando estos dos, obtenemos, $\vec{a}.(\vec{b}+\vec{c})=3$ . $\Rightarrow |\vec{a}||(\vec{b}+\vec{c})|cos\theta=3$ , donde $\theta$ es el ángulo entre los vectores $\vec{a}$ y $(\vec{b}+\vec{c})$ . Desde, $cos\theta\le1\Rightarrow|\vec{a}||(\vec{b}+\vec{c})|\ge3 $ . Ahora, utiliza el hecho de que, $|\vec{a}|^2=1\Rightarrow |\vec{a}|=1$ para conseguirlo, $|\vec{b}+\vec{c}|\ge3$

Answer 2

El tramo $V$ de los tres vectores es como máximo tridimensional. Podemos elegir una base ortonormal de $V$ tal que $a=(1,0,0)$ y $b=(1,p,0)$ . La condición $a\cdot c=2$ refuerza $c=(2,y,z)$ y de $b\cdot c=1$ se deduce entonces que $2+py=1$ . Esto puede hacerse con cualquier $p\ne0$ y $y=-{1\over p}$ . En total tenemos $$a+b+c=\left(4,p-{1\over p}, z\right)\ .$$ Es evidente que este vector tiene una longitud $\geq4$ .