(¿Cómo) es la teoría de las categorías realmente útil en la física real?

Question

Un respuesta a una pregunta reciente motivó la siguiente pregunta:

(cómo) es la teoría de la categoría en realidad útil en la física actual?

Por "física real" quiero referirme a las áreas en las que el principio teórico subyacente tiene una justificación experimental sólida, si no concluyente, descartando así no sólo la teoría de cuerdas (al menos por el momento), sino también todo lo que podría notar en esta página de nLab (aunque es posible que me haya perdido algo).

Nótese que no pregunto (por ejemplo) si la teoría de las categorías se ha utilizado o no en relación con los modelos hipotéticos en física. He leído el blog de Báez de vez en cuando a lo largo de las décadas y ya he demostrado tener conocimiento de la existencia del nLab. Soy vagamente consciente de cosas como (por ejemplo) la conexión entre las álgebras de Hopf y la renormalización, pero todavía no he encontrado algo que parezca tener un componente no trivial de teoría de categorías y que no pueda ser expresado en algún otro lenguaje más "tradicional".

Nótese, por último, que desconozco la teoría de categorías más allá de las palabras "morfismo" y "functor" y (en mi juventud) "límite directo". Así que las respuestas que tengan en cuenta esto son especialmente bienvenidas.

Answer 1

Las categorías de fusión y de módulo aparecen en los estados topológicos de la materia en la física del estado sólido. Vea la investigación, las publicaciones y las charlas en Estación Q de Microsoft .

Answer 2

Las categorías (y las categorías superiores) parecen ser una buena forma de expresar la localidad de la integral de trayectoria en la física. En particular, lo importante es la idea de encolado de las estructuras locales. Esta línea de pensamiento conduce a la axiomatización de (partes de) varias QFT, con mayor éxito en las teorías de campo topológicas y conformes. Esta idea tiene sus orígenes en Atiyah, Segal, Baez-Dolan, Freed y probablemente una tonelada de otras personas que estoy olvidando. Las categorías de fusión trenzadas, como en la respuesta anterior, son un ejemplo de esto en tres dimensiones. Más recientemente, está la clasificación de Lurie de las TQFT en todas las dimensiones en términos de $(\infty,n)$ categorías.

Answer 3

Jürgen Fuchs, Ingo Runkel y Christoph Schweigert han desarrollado un tratamiento completo de la Teoría de Campos Racional Conforme basado en el álgebra en categorías tensoriales trenzadas. Tienen aplicaciones a la teoría de cuerdas así como a la física estadística, sobre todo a los defectos conformacionales y a las llamadas dualidades de Kramers-Wannier.

Véase J. Fuchs, I. Runkel, C. Schweigert: Construcción TFT de correlacionadores RCFT I , II , III , IV , V para la historia completa o, para un resumen, la charla de Schweigert en 2006 en el ICM Categorización y funciones de correlación en la teoría de campos conformes .

Answer 4

Teoría de la categoría monoidal (especialmente categorías de daga-compacta ) y sus cálculos de diagramas de cuerdas asociados son un lenguaje muy útil, especialmente para la mecánica cuántica, la computación cuántica y la QFT. Véase esto buen artículo de John Baez y Mike Stay para conocer algunos detalles. Parece que una buena parte de los principios básicos de la mecánica cuántica, como la teorema de no clonación son en realidad afirmaciones sobre categorías monoidales. Y Diagramas de Feynman son esencialmente diagramas de cadenas para categorías monoidales de representaciones.

QFT topo-teórica es una cosa también, aunque honestamente no sé nada sobre este enfoque.