Es $f(x)=\sqrt{(1+x^2)}$ , $x \in \mathbb{R}$ ¿un mapa de contracción?

Question

Tomamos $x, y \in \mathbb{R}$ .

Entonces yo digo :

$\mid \sqrt{(1+x^2)} - \sqrt{(1+y^2)} \mid$ $\le$ $\mid 1+\sqrt{x^2} - 1-\sqrt{y^2} \mid$

$\Leftrightarrow$ $\mid \sqrt{(1+x^2)} - \sqrt{(1+y^2)} \mid$ $\le$ $\mid \sqrt{x^2} - \sqrt{y^2} \mid$

$\Leftrightarrow$ $\mid \sqrt{(1+x^2)} - \sqrt{(1+y^2)} \mid$ $\le$ $\mid \mid{x} \mid - \mid{y} \mid \mid$

$\Leftrightarrow$ $\mid \sqrt{(1+x^2)} - \sqrt{(1+y^2)} \mid$ $\le$ $\mid \mid{x} \mid - \mid{y} \mid \mid$ $\le$ $\mid x-y \mid$

Lo que significa que $k=1$ ?

Así que $f$ no es un mapa de contracción. ¿Funciona? Gracias de antemano.

Answer 1

Si fuera un mapa de contracción, tendría un punto fijo. ¿Cuáles son las soluciones de $\sqrt{1+x^2}=x$ ?

Answer 2

También puede utilizar $\frac{|\sqrt{1+x^2}-1|}{|x-0|}=\frac{|x|}{|\sqrt{1+x^2}+1|}\to 1$ como $x \to \infty$ para argumentar que no existe $0\leq k<1$ que satisface el requisito.

Answer 3

No es muy difícil demostrar que $$\lim_{n\to\infty} (f(n+1)-f(n))=1$$

Por lo tanto, no puede haber $k<1$ tal que $|f(x)-f(y)|\le k|x-y|$ para todos $x,y\in\mathbb{R}$ .